图形学-向量叉乘

向量叉乘

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_1{z}_2-z_1{y}_2\\ z_1{x}_2-x_1{z}_2\\ x_1{y}_2-y_1{x}_2\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ -4\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}2\\ -5\\ 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\ast 8-(-4)\ast (-5)\\ (-4)\ast 2-1\ast 8\\ 1\ast (-5)-3\ast 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ -16\\ -11\end{array}\right]$

向量叉乘具有反交换律

$a\times b=-(b\times a)$
交换a与b,叉乘结果是两个方向相反的向量

向量叉乘的几何意义

计算与向量u、v都垂直的第三个向量

左手定则，用左手从a转到b，大拇指的方向就是$a\times b$的方向。

向量叉乘的第二个几何意义

计算由向量u、v构成的平行四边形A的面积
$\Vert a\times b\Vert =\Vert a\Vert \Vert b\Vert \sin \theta$
$S=bh=b(a\sin \theta )=\Vert a\Vert \Vert b\Vert \sin \theta =\Vert a\times b\Vert$

向量叉乘的应用

三角形法线的计算

已知三角形三个顶点v1,v2,v3.
(v2-v1) X (v3-v1)就可以得到法线