图形学-向量点乘

向量的操作

向量点乘（Dot Product）

两个向量点乘，是这两个向量每个分量相乘结果的和。

对于3D向量，可以表示为：
$$a\cdot b=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$$

向量点乘的几何意义

用于计算两向量夹角的余弦值
$$a\cdot b=\Vert a\Vert \Vert b\Vert \cos \theta$$

$$\cos \theta =\frac{a\cdot b}{\Vert a\Vert \Vert b\Vert }=\frac{a}{\Vert a\Vert }\cdot \frac{b}{\Vert b\Vert }$$
如果向量a、b都是单位向量，则可以简化为：
$$\cos \theta =a\cdot b$$

应用1：光照计算。计算反射光和法线的夹角余弦值，余弦值越大夹角越小光照强度越大，余弦值越小夹角越大光照强度越大。

应用2：背面裁剪。反射光和平面法线的余弦值大于0，则在平面正向，小于0则在平面反向。

总结

$\cos \theta =0\text{，那么u与v垂直}$
$\cos \theta >0\text{，那么向量u、v之间的夹角在0到90°之间，方向基本相同}$
$\cos \theta <0\text{，那么向量u、v之间的夹角在90°到180°之间，方向基本相反}$

点乘第二个集合意义

用于计算向量u在向量v上的投影
$\text{a在b上的投影}=\Vert a\Vert \ast \cos \theta =\frac{a\cdot b}{\Vert b\Vert }=\text{Dot(u,normalized(v))}$
$a\cdot b\text{代表a在b上的投影与}\Vert b\Vert \text{的乘积}$