【高等数学】第十二章 无穷级数——第四节 函数展开成幂级数

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• 函数展开成幂级数
  如果能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数$f(x)$，那么称函数$f(x)$在该区间内能展开成幂级数，而这个幂级数在该区间内就表达了函数$f(x)$。
• 泰勒级数
  假设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内能展开成幂级数，即有$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n,x\in U(x_0)$$根据和函数的性质$$f^{(n)}(x_0)=n!\cdot a_n\Rightarrow a_n=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)$$所以有$f(x)$在点$x_0$处的泰勒展开式$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n,x\in U(x_0)$$右边的级数称为泰勒级数
  函数$f(x)$在$U(x_0)$内能展开成幂级数的充分必要条件是泰勒展开式成立，也就是泰勒级数在$U(x_0)$内收敛，且收敛到$f(x)$。
• 泰勒展开式成立的条件
  设函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域$U(x_0)$内具有各阶导数，则$f(x)$在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内$f(x)$的泰勒公式中的余项$R_n(x)$当$n\to \infty$时的极限为零，即$$\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=0,x\in U(x_0)$$

  $\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=0,x\in U(x_0)$
  $\iff \underset{n\to \infty }{\lim }[f(x)-p_n(x)]=0$
  $\iff \underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n(x)=f(x)$

• 麦克劳林级数
  麦克劳林展开式$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n(|x|<r)$$右侧幂级数称为麦克劳林级数
• 函数$f(x)$展开成$x$的幂级数
  • 求出$f(x)$的各阶导数$f^{\prime }(x)$，$f^{\prime \prime }(x)$，$\cdots$，$f^{(n)}(x)$，$\cdots$，如果在$x=0$处某阶导数不存在，它就不能展开为$x$的幂级数。
  • 求出函数及其各阶导数在$x=0$处的值：$f(0)$，$f^{\prime }(0)$，$f^{\prime \prime }(0)$，$\cdots$，$f^{(n)}(0)$，$\cdots$。
  • 写出幂级数：$$f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\cdots ,$$并求出收敛半径 $R$.
  • 利用余项 $R_n(x)$ 的表达式 $R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\theta x)x^{n+1}$ $(0<\theta <1)$, 考察当 $x$ 在区间 $(-R,R)$ 内时余项 $R_n(x)$ 的极限是否为零. 如果为零, 那么函数 $f(x)$ 在区间 $(-R,R)$ 内的幂级数展开式为$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\cdots (-R<x<R).$$
• 常用的幂级数
  • ${\mathrm{e}}^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{x}^n(-\infty <x<+\infty )$
  • $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}(-\infty <x<+\infty )$
  • $\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^n}{n!}(-1<x<1)$
  • $\ln (1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n(-1<x⩽1)$
  • $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}(-\infty <x<+\infty )$
  • $a^x=e^{x\ln a}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(\ln a{)}^n}{n!}{x}^n(-\infty <x<+\infty )$
  • $\frac{1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}(-1<x<1)$
  • $\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}(-1\le x\le 1)$
  • $(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+\cdots (-1<x<1)$

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