《高等数学》（同济大学·第7版）第十二章 无穷级数 第四节函数展开成幂级数

一、泰勒级数与麦克劳林级数
泰勒多项式与泰勒级数

泰勒多项式：若函数 f(x) 在点 x_0 处具有直到 n 阶的导数，则可以构造一个 n 次多项式：

P_n(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0) + [f’'(x_0)/2!](x - x_0)^2 + … + [f^(n)(x_0)/n!](x - x_0)^n

这个多项式是 f(x) 在 x_0 处的最佳逼近多项式。
泰勒级数：当 n → ∞ 时，若泰勒多项式的余项 R_n(x) → 0，则 f(x) 可展开为泰勒级数：

f(x) = Σ_{n=0}^{∞} [f^(n)(x_0)/n!] (x - x_0)^n

麦克劳林级数

当 x_0 = 0 时，泰勒级数变为：

f(x) = Σ_{n=0}^{∞} [f^(n)(0)/n!] x^n

例如：
e^x 的麦克劳林展开式： Σ_{n=0}^{∞} x^n / n!

sin x 的麦克劳林展开式： Σ_{n=0}^{∞} [(-1)^n x^{2n+1}] / (2n+1)!

二、函数展开为幂级数的条件
必要条件

函数 f(x) 在展开点 x_0 的某邻域内必须无穷次可导，即存在所有阶导数 f^(n)(x)。
充分条件

若泰勒公式的余项 R_n(x) 满足：

lim_{n → ∞} R_n(x) = 0 (x ∈ U(x_0, R))

则 f(x) 可展开为泰勒级数。
几何意义：泰勒级数在收敛域内与函数完全一致。

三、直接展开法（公式法）
步骤

求各阶导数：计算 f^(n)(x) 直到某阶导数不存在。

代入展开点：求出 f^(n)(x_0) 的值。

写出幂级数：

Σ_{n=0}^{∞} [f^(n)(x_0)/n!] (x - x_0)^n

确定收敛域：用比值法或根值法求收敛半径，并检验端点。

示例：展开 f(x) = 1/(1+x) 为麦克劳林级数

步骤1：求导数：

f^(n)(x) = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)}

步骤2：代入 x=0 ：

f^(n)(0) = (-1)^n n!

步骤3：写出级数：

Σ_{n=0}^{∞} [(-1)^n n! / n!] x^n = Σ_{n=0}^{∞} (-1)^n x^n

步骤4：收敛域为 |x| < 1 ，即 x ∈ (-1, 1)。

四、间接展开法（常用技巧）
变量替换法

利用已知展开式，通过变量替换得到新函数的展开式。
示例：展开 f(x) = 1/(1 + x^2) 为麦克劳林级数。
已知 1/(1 - t) = Σ_{n=0}^{∞} t^n （ |t| < 1 ）。

令 t = -x^2 ，则：

1/(1 + x^2) = Σ_{n=0}^{∞} (-1)^n x^{2n}, |x| < 1

逐项积分法

对已知级数逐项积分，得到新级数。
示例：展开 f(x) = arctan x 为麦克劳林级数。
已知 1/(1 + x^2) = Σ_{n=0}^{∞} (-1)^n x^{2n}。

两边积分：

arctan x = 积分(从0到x) [ Σ_{n=0}^{∞} (-1)^n t^{2n} ] dt = Σ_{n=0}^{∞} [(-1)^n x^{2n+1}] / (2n+1)

逐项求导法

对已知级数逐项求导，得到新级数。
示例：展开 f(x) = ln(1 + x) 为麦克劳林级数。
已知 1/(1 + x) = Σ_{n=0}^{∞} (-1)^n x^n。

两边积分：

ln(1 + x) = 积分(从0到x) [ Σ_{n=0}^{∞} (-1)^n t^n ] dt = Σ_{n=0}^{∞} [(-1)^n x^{n+1}] / (n+1)

五、常用函数的麦克劳林展开式
函数 展开式 收敛域
e^x : Σ_{n=0}^{∞} x^n / n! , (-∞, +∞)
sin x : Σ_{n=0}^{∞} [(-1)^n x^{2n+1}] / (2n+1)! , (-∞, +∞)
cos x : Σ_{n=0}^{∞} [(-1)^n x^{2n}] / (2n)! , (-∞, +∞)
ln(1+x) : Σ_{n=0}^{∞} [(-1)^n x^{n+1}] / (n+1) , (-1, 1]
1/(1-x) : Σ_{n=0}^{∞} x^n , (-1, 1)

六、典型例题解析

例题1：将 f(x) = x ln(1 + x) 展开为麦克劳林级数

步骤：
利用已知的 ln(1+x) = Σ_{n=1}^{∞} [(-1)^{n-1} x^n] / n （ |x| < 1 ）。

乘以 x ：

x ln(1+x) = x * Σ_{n=1}^{∞} [(-1)^{n-1} x^n] / n = Σ_{n=1}^{∞} [(-1)^{n-1} x^{n+1}] / n

(整理下标，令 k = n+1, 则 n = k-1, 当 n=1 时 k=2)
x ln(1+x) = Σ_{k=2}^{∞} [(-1)^{(k-1)-1} x^k] / (k-1) = Σ_{k=2}^{∞} [(-1)^{k-2} x^k] / (k-1)

因为 (-1)^{k-2} = (-1)^k * (-1)^{-2} = (-1)^k * 1 = (-1)^k
所以 x ln(1+x) = Σ_{k=2}^{∞} [(-1)^k x^k] / (k-1) , |x| < 1
(通常保留 k 或换回 n) 即 Σ_{n=2}^{∞} [(-1)^n x^n] / (n-1) , |x| < 1

例题2：将 f(x) = (1 + x)/(1 - x) 展开为麦克劳林级数

步骤：
分解为 1/(1 - x) + x/(1 - x) 。

分别展开：

1/(1 - x) = Σ_{n=0}^{∞} x^n
x/(1 - x) = x * Σ_{n=0}^{∞} x^n = Σ_{n=0}^{∞} x^{n+1} = Σ_{n=1}^{∞} x^n
合并得：

(1 + x)/(1 - x) = Σ_{n=0}^{∞} x^n + Σ_{n=1}^{∞} x^n = 1 + Σ_{n=1}^{∞} x^n + Σ_{n=1}^{∞} x^n = 1 + 2 Σ_{n=1}^{∞} x^n

七、注意事项
收敛域的检验：展开后必须验证收敛性，尤其是端点（如 ln(1+x) 在 x=1 处条件收敛）。

唯一性：函数在某点的幂级数展开式是唯一的。

灵活运用间接法：直接计算高阶导数可能很复杂，间接法更高效。

八、总结

函数展开为幂级数的核心是：
泰勒级数的条件：函数无穷次可导且余项趋于零。

两种方法：

直接法：计算各阶导数，写出级数并验证收敛性。
间接法：利用已知展开式通过变量替换、积分或求导得到新展开式。
常用展开式：熟记 e^x、sin x、cos x 等的展开式，灵活组合应用。