【Gym-101972J】J.Even Numbers 数论组合数／思维、规律-优快云博客

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博客内容讲述了如何通过杨辉三角和组合数的性质解决一个涉及大整数的偶数计数问题。作者首先指出给定的二元函数与组合数有关，并且提到当n与m的与为偶数时，组合数为奇数。接着，通过观察奇数个数的规律，发现其与二进制表示中1的个数相关，从而得出求解偶数个数的方法。最后提供了AC代码实现。

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Gym-101972J

Even Numbers

题目大意

给定一个二元函数 $c a l c (i, j)$
当 $i = n$ 时，计算当 $\leq m \leq n$ 时， $c a l c (n, m)$ 有多少个偶数

Time : 1000 ms
Memory: 262144 kB

解题思路及分析

对杨辉三角、组合数比较熟悉的可以一眼看出来给的公式就是杨辉三角也就是组合数
不熟悉的打一下表或者手算几行也能看出来，但是由于n最大为1e18所以不能直接算（这么大的数据量我最开始还以为是Lucas定理后来发现不是）
对于组合数有一个结论：当 $\& m == m$ 时 $C_n^m$ 为奇数，有了这个结论这道题直接就可以做了
另外不知道结论的也可以直接推规律，~~我就是直接硬推出来的~~，下面给出推的过程
首先第一步是对2取余打表，最开始是统计的偶数发现没什么规律，然后发现统计奇数更有规律性，每一行的奇数个数均为2的幂次
然后去寻找规律，最先发现的就是对于2的幂次的行奇数个数均为2（首尾的两个1），奇数行的奇数个数为前一行的二倍。此时还没发现什么规律，然后继续观察，发现对于6、48这些行均为4，而6=2+4，48=32+16，于是猜想和二进制有关系，打表把每行的二进制输出，发现关键信息：第i行的奇数个数等于 $2^k$ ，其中k为i的二进制中1的个数。从偶数个数可以求出奇数个数，至此找到规律，即可顺利AC

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long llong;
typedef long double ldouble;
using namespace std;

llong n;

int main() {
    #ifdef LOCAL
        freopen("in.in", "r", stdin);
        freopen("out.out", "w", stdout);
    #endif

    int T;	cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        llong tmp = n, cnt = 1;
        while (tmp) {
            if (tmp & 1) {
                cnt <<= 1;
            }
            tmp >>= 1;
        }
        cout << n + 1 - cnt << endl;
    }
    return 0;
}