1252_0-1背包问题

Description

给定 $n$ 种物品和一个背包, 物品 $i$ 的重量是 $w_i$, 其价值为 $v_i$, 背包的容量为 $c$. 应如何选择装入背包的物品, 使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时, 对每种物品 $i$ 只有两种选择, 即装入背包或不装入背包. 不能将物品 $i$ 装入背包多次, 也不能只装入部分的物品 $i$.

本题对于给定的 $n$ 个物品的重量及价值和一个背包容量, 请计算将物品装入背包时的最大价值.

Input

有多个测试用例. 每个测试用例的第一行有两个正整数 $n(\le 20)$ 和 $c(\le 1000000)$, 分别表示物品数和背包容量. 接下来的两行各有 $n$ 个正整数, 表示物品的价值和重量. 输入直至没有数据为止.

Output

对于每个测试用例, 在一行上输出最大的装入价值.

输入样例

4 10
1 3 5 9
2 3 4 7
5 10
6 3 5 4 6
2 2 6 5 4

输出样例

12
15

分析

dp[i][j] 表示

$w$	$v$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
3	3	0	0	1	3	3	4	4	4	4	4	4
4	5	0	0	1	3	5	5	6	8	8	9	9
7	9	0	0	1	3	5	5	6	9	9	10	12

if(j < w[i])//物品比当前背包的重量重，不能够拿
	dp[i][j]=dp[i-1][j];
	// 比如 dp[2][2]=dp[2][2]=1
else if(j >= w[i])
	dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+c[i])
	// dp[i-1][j]是不拿i时
	// 比如 dp[2][3]=max(dp[1][3],dp[1][0]+3)

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
int dp[21][100001];
int v[21];
int w[21];
int main() {
    int n,c;
    while(cin>>n>>c) {
    	// 注意这里的i=1
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cin >> v[i];
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cin >> w[i];
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i){
            for (int j = 1; j <= c; ++j){
                if(j < w[i])
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                else{
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
                }
            }
        }
        // for (int i = 0; i <= n; ++i){
        //     for (int j = 0; j <= c; ++j){
        //         cout << dp[i][j] << " ";
        //     }
        //     cout << endl;
        // }
        cout << dp[n][c] << endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}

后无效性原则：当前状态只与上一个有关
那么我们就可以压缩二维数组成为一维数组

if(j >= w[i])
	dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]); 

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
int dp[100001];
int v[21];
int w[21];
int main() {
    int n,c;
    while(cin>>n>>c) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cin >> v[i];
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cin >> w[i];
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i){
            for (int j = c; j >= 1; --j){ //注意这里要从后往前，因为要用到旧数据
                if(j>=w[i])
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
            }
            // for (int j = 0; j <= c; ++j){
            //     cout << dp[j] << " ";
            // }
            // cout << endl;
        }
        cout << dp[c] << endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}