【知识总结】扫描线+树状数组

问题引入：

给出$n$个区间$[l_i,r_i]$，问有多少对区间相交。

基本思路：

按照右端点排序后，从左往右扫，每次先询问再更新；
将右端点的值加$1$，询问当前区间的和；
即单点修改区间查询，可以用树状数组维护。

题型总结：

大概用于：

• 可以离线的区间查询问题
• 枚举右端点，看符合条件的对应点的个数，同时要保证对于每一个右端点来说，合法的对应点的数量不宜超过$\sqrt{n}$
• 问题可以转化为点对问题
• 贡献比较好维护

例题：

CF301D.Yaroslav and Divisors

题解
算是比较入门的题，题目难度在于如果快速的求出每个数前面的因子的位置，由于因子最多有$\sqrt{n}$个，所以每个位置存储的数也最多为$\sqrt{n}$,整体时间复杂度$O(n\sqrt{n}logn)$

CF220B Little Elephant and Array

题解
难点在于如何利用树状数组的差分原理来进行贡献的增加和消除，要多举例子。还用到了一个小的思维优化。

牛客 小乐乐学数学

题解
需要对每个数进行质因子分解，这是难点一；难点二在于如何消除贡献，细节也比较多。

CF617E XOR and Favorite Number

题解
用这种解法是过不了的。其实离线树状数组跟莫队都是用于离线处理区间问题的，但是如果一个点有$\sqrt{n}$以上个配对的点时，时间复杂度就会被卡成$O(n^2)$，正如本题：如果序列中全为$0,1$，那么对于每一个数，前面都有很多个符合要求的数，遍历一遍进行单点修改显然不可取，只好借助其他数据结构比如莫队啦。

总结：

大体流程就是：

• 将所有询问离线保存，按照右端点排序；（左端点也可）
• 枚举右端点，计算出加入右端点之后前面的数的贡献，同时消除重复的贡献，这里要结合树状数组的差分原理来理解，是题目中不好推的地方；
• 对于每个右端点为当前点的询问，借助区间求和与前缀和求出答案并保存；
• 输出答案；

一些有用的链接

• Codeforces 220B 学长题解
• Nowcoder-小乐乐学数学 宇巨题解
• Codeforces 301D 学长题解

大概是一些进阶题？

反正是从光巨的博客里翻出来的~

• AtCoder Beginner Contest 186F Rook on Grid 题解
• 【Nowcoder】 子串 题解
• Codeforces 483D 题解

完结啦

暂时先这样了吧，明天补一下上面三道题。大概写的时候言语混乱+思绪不清，希望下次看这篇$blog$时还能看懂自己写的话。