Kruskal算法构建最小生成树

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Kruskal算法原理：

(1)将图结构中的边按照权值从小到大进行排序处理。
(2)每次取其中权值最小的边考虑加入到最小生成树集合中。
(3)判断每次取的边加入到最小生成树中之后是否会形成环，如果会形成环则不能将该边加入到最小生成树集合中。
(4)重复步骤2、3。直到满足 顶点数 - 边数量 = 1，则说明最小生成树构建完成。

具体步骤如下：

图结构如下

(1)根据边的权值对边进行排序处理得到结果如下图所示：

(1)取6-7构成的边加入到最小生成树集合中，显然不会构成环，则该边可以加入到最小生成树集合中

(2)取2-8构成的边加入到最小生成树集合中，显然不会构成环，则该边可以加入到最小生成树集合中

(3)取5-6构成的边加入到最小生成树集合中，显然不会构成环，则该边可以加入到最小生成树集合中

(4)取0-1构成的边加入到最小生成树集合中，显然不会构成环，则该边可以加入到最小生成树集合中

(5)取2-5构成的边加入到最小生成树集合中，显然不会构成环，则该边可以加入到最小生成树集合中

(6)取6-8构成的边加入到最小生成树集合中，此时构成环路，则不能将该边加入到最小生成树集合中

(7)取7-8构成的边加入到最小生成树集合中，此时构成环路，则不能将该边加入到最小生成树集合中

(8)取2-3构成的边加入到最小生成树集合中，显然不会构成环，则该边可以加入到最小生成树集合中

(9)取0-7构成的边加入到最小生成树集合中，显然不会构成环，则该边可以加入到最小生成树集合中

(10)取1-2构成的边加入到最小生成树集合中，此时构成环路，则不能将该边加入到最小生成树集合中

(11)取3-4构成的边加入到最小生成树集合中，显然不会构成环，则该边可以加入到最小生成树集合中
此时最小生成树集合中边的数量为8条，顶点个数为9，满足顶点数 - 边数 = 1，所以已经找到了构成最小生成树的边。

代码实现

代码中需要用到并查集来检测环路。如果能构成最小生成树则输出最小生成树的边的权值之和否则输出-1。

//并查集找根节点
int find(const vector<int>& parent, int x){
	while(parent[x] != x){
		x = parent[x];
	}
	return x;
}

//合并
void merge(vector<int>& parent, int x, int y){
	int x_root = find(parent, x);
	int y_root = find(parent, y);
	parent[x_root] = y_root;
}
//仿函数
class mycompare{
	public:
		bool operator()(const vector<int>& v1, const vector<int>& v2){
			return v1[2] < v2[2];
		}
};

int minTree(int n, vector<vector<int>>& connections) {
//n表示顶点数
//conections = [[1,2,5],[1,3,6],[2,3,1]] 表示1-2边权值为5，1-3边权值为6，2-3边权值为1 
//顶点序号从1开始
	vector<int> parent(n + 1, 0);
	int count = 0;//统计边的数量
	for(int i = 1; i < parent.size(); ++i){
		parent[i] = i;
	}
	int res = 0;
	sort(connections.begin(), connections.end(), mycompare());
	for(int i = 0; i < connections.size(); ++i){
		if(find(parent, connections[i][0]) != find(parent, connections[i][1])){
			merge(parent, connections[i][0], connections[i][1]);
			res += connections[i][2];
			count++;
		}
	}
	return (count == n - 1 ? res : -1);
}