acwing246.区间最大公约数

最新推荐文章于 2024-03-28 20:12:33 发布

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分类专栏：日常练习文章标签：数据结构算法

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本文介绍了如何利用树状数组（线段树）实现区间加法的高效转换，并结合差分数组和更相减损术处理区间最大公约数的查询问题。通过懒标记优化，作者展示了如何在给定数组上进行快速的区间修改和查询操作，适合处理大规模数据和频繁更新的场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

树套树？这就是强者的世界吗！！！

大意

给定两个操作：

1、添加操作，将数组[l,r]范围内的数都加上d

2、询问操作，询问数组[l,r]范围内的最大公约数

每次询问输出一次答案

思路

1、区间修改只有加法操作，可使用差分去转换成单点修改。单点操作可不快乐多了！（懒标记雀食不好写啊！其实是写了懒标记发现超时了，蒟蒻本蒻。。。）

修改点L加d，点R+1减d。

存在定理（更相减损术）：

gcd(a,b,c,d,e、、、)=gcd(a,b-a,c-b,d-c,e-d、、、)

刚好契合了差分数组。

树状数组维护差分数组可能更直观？这里顺手还是用的线段树。

2、区间查询

最大公约数怎么处理出来？

建个线段树维护前缀和，我们取差分数组前L个点的前缀和，根据上面的定理，将前缀和看作a求gcd。（这里还想了挺久的，果然是蒟蒻吗。。。）

注意差分数组内的数可能为负数，所以需对结果取绝对值

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=20100403;
#define N 500007
#define lch (k*2)
#define rch (k*2+1)
#define mid ((l+r)/2)
ll sum[N*4],gd[N*4],a[N];
ll n,m;
void init(ll k,ll l,ll r)
{
    if(l>=r)
    {
        sum[k]=a[l]-a[l-1];
        gd[k]=a[l]-a[l-1];
        return;
    }
    init(lch,l,mid);
    init(rch,mid+1,r);
    sum[k]=sum[lch]+sum[rch];
    gd[k]=__gcd(gd[lch],gd[rch]);
}
void update(ll k,ll l,ll r,ll tot,ll val)
{
    
    if(l>=r)
    {
        sum[k]+=val;
        gd[k]+=val;
        return;
    }
    if(tot<=mid)
        update(lch,l,mid,tot,val);
    else
        update(rch,mid+1,r,tot,val);
    sum[k]=sum[lch]+sum[rch];
    gd[k]=__gcd(gd[lch],gd[rch]);
}
ll qry_gcd(ll k,ll l,ll r,ll ql,ll qr)
{
    if(ql<=l&&r<=qr)
    {
        return gd[k];
    }
    ll mx1=0,mx2=0;
    if(ql<=mid)
    {
        mx1=qry_gcd(lch,l,mid,ql,qr);
    }
    if(mid+1<=qr)
    {
        mx2=qry_gcd(rch,mid+1,r,ql,qr);
    }
    return __gcd(mx1,mx2);
}
ll qry_sum(ll k,ll l,ll r,ll ql,ll qr)
{
    if(ql<=l&&r<=qr)
    {
        return sum[k];
    }
    ll mx1=0,mx2=0;
    if(ql<=mid)
    {
        mx1=qry_sum(lch,l,mid,ql,qr);
    }
    if(mid+1<=qr)
    {
        mx2=qry_sum(rch,mid+1,r,ql,qr);
    }
    return mx1+mx2;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>n>>m;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    init(1,1,n);
    while(m--)
    {
        char op[3];
        ll x,y,d;
        cin>>op;
        if(*op=='Q')
        {
            cin>>x>>y;
            cout<<abs(__gcd(qry_sum(1,1,n,1,x),qry_gcd(1,1,n,x+1,y)))<<endl;
        }
        else
        {
            cin>>x>>y>>d;
            update(1,1,n,x,d);
            update(1,1,n,y+1,-d);
        }
    }
    return 0;
}