网络流中最大流问题的两种解法以及费用流的解法

网络流问题

最大流问题

在一张有向图中存在一个源点和汇点，图中的每一条边都有一个最大流量负载值，我们要求的是网络中从源点到汇点的最大流量值。

定理：在残量网络中当不存在一条从源点到汇点的增广路时，网络达到最大流。

基本算法

EK

int n,m,s,t,ans,cnt=-1;
int prenode[N],preedge[N],flow[N],head[N];
bool use[N];
queue<int>q;
struct Edge{
    int pre,to,val;
}edge[N<<2];
void addedge(int fr,int to,int val){
    edge[++cnt].pre=head[fr];edge[head[fr]=cnt].to=to;edge[cnt].val=val;
}

int bfs(){
    memset(use,0,sizeof use);
    use[s]=1;flow[s]=IFF;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();q.pop();
        for(int i=head[i];i+1;i=edge[i].pre){
            int to=edge[i].to;
            if(use[to]||!edge[i].val)  continue;
            use[to]=1;
            prenode[to]=now;preedge[to]=i;flow[to]=min(flow[now],edge[i].val);
            if(to==t) return flow[to];
        }
    }
    return 0;
}
/*int dfs(int now,int val){
    if(now==t||val==0) return val;
    for(int i=head[now];i+1;i=edge[i].pre){
        int to=edge[i].to;
        if(use[to]) continue;
        use[to]=1;
        int op=dfs(to,min(val,edge[i].val));
        edge[i].val-=op;edge[i^1]+=op;
        if(op) return op;
        use[to]=0;
    }
    return 0;
}*/
int main(){
    while(!q.empty()) q.pop();
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        addedge(a,b,c);addedge(b,a,0);
    }
    int nowflow;
    while(nowflow=bfs()){
      	ans+=nowflow;
      	for(int i=t;i!=s;i=prenode[i]){
            int e=preedge[i];
            edge[e].val-=nowflow;
            edge[e^1].val+=nowflow;
        }
    } 
}

$Dinic$

int n,m,cnt=-1,ans;
int cur[N],dis[N],head[N];
queue<int >q;
struct Edge{
    int pre,to,val;
}edge[N<<1];
void addedge(int fr,int to,int val){
    edge[++cnt].pre=head[fr];edge[head[fr]=cnt].to=to;edge[cnt].val=val;
}
bool bfs(){
    memset(use,0,sizeof use);
    memset(dis,-1,sizof dis);
    use[s]=1;dis[s]=0;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();q.pop();
        for(int i=head[now];i+1;i=edge[i].pre){
            int to=edge[i].to;
            if(dis[to]!=-1||!edge[i].val) continue;
            dis[to]=dis[now]+1;
        }
    }
    return dis[t]!=-1;
}
int dfs(int now,int val){
    if(now==t||val==0) return val;
    for(int& i=cur[i];i+1;i=edge[i].pre){
        int to=edge[i].to;
        if(dis[now]+1!=dis[to]) continue;
        int nowflow=dfs(to,min(val,edge[i].val));
        edge[i].val-=nowflow;edge[i^1].val+=nowflow;
        if(nowflow) return nowflow;
    }
    return 0;
}
int main(){
    while(!q.empty()) q.pop();
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        addedge(a,b,c);addedge(b,a,0);
    }
    while(bfs()){
        int nowflow;
        while(nowflow=dfs(s,IFF)) ans+=nowflow;
    }
}

费用流问题

int n,m,s,t,ans;
int dis[N],prenode[N],predge[N],head[N],flow[N];
bool use[N];
queue<int>q;
struct Edge{
    int pre,to,f,val;
}edge[N<<1];
void addedge(int fr,int to,int val,int f){
    edge[++cnt].pre=head[fr];edge[head[fr]=cnt].to=to;
    edge[cnt].to=to;edge[cnt].val=val;
    edge[cnt].f=f;head[fr]=cnt;
}
bool spfa(){
    memset(use,0,sizeof use);
    memset(dis,-1,sizeof dis);
    while(!q.empty()) q.pop();
    dis[s]=0;use[s]=1;flow[s]=IFF;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();q.pop();
        for(int i=head[now];i+1;i=edge[i].pre){
            int to=edge[i].to;
            if(!edge[i].val) continue;
            if(dis[i]==-1||dis[now]+edge[i].f<dis[to]){
                flow[to]=min(flow[now],edge[i].val);
                dis[to]=dis[now]+edge[i].f;
                prenode[to]=now;
                predge[to]=i;
                if(!use[to]) {
                    q.push(to);
                    use[to]=1;
                }
            }
            if(to==t) return 1;
        }
    }
    return 0;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int a,b,c,d;
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
        addedge(a,b,c,d);addedge(b,a,0,-d);
    }
    while(spfa()){
        ans+=flow[t]*dis[t];
        for(int i=t;i!=s;i=prenode[i]){
            int e=predge[i];
            edge[e].val+=e;
            edge[e^1].val-=e;
        }
    }
}