堆，堆构建，堆排序，PriorityQueue和TopN问题

零. 前言

        堆作为一种重要的数据结构，在面笔试中经常出现，排序问题中，堆排序作为一种重要的排序算法经常被问道，大顶堆小顶堆的应用经常出现，经典的问题TopN问题也是堆的重要应用，因此，了解并掌握这种数据结构是很必要的。

一. 堆的数据结构

1.由树而来

        堆的数据结构可以看作是一种由数组实现的抽象完全二叉树，通过大顶堆或者小顶堆，来达到快速找到一新数据在整个堆结构中的应有位置，继而来实现排序、TopN问题或者log级别的算法要求。

        完全二叉树，就是在一棵树中，元素从从上到下，从左到右依次变满，不会出现一个节点的左子节点不存在而右子节点存在的情况。

2.大顶堆 

        在一个大顶堆中，根节点的值比左右子树都要大(可以等于)，在所有子树中都成立，但注意此时，左右子节点的大小并没有进行比较，所以是未知。

        一个典型的大根堆案例：

上图中的二叉树中的数值对应在数组中就是arr=[7,5,6,2,3,1,4]，可以看作是树的层序遍历，从上到下，从左到右依次填满

3.小顶堆

         在一个小顶堆中，根节点的值比左右子树都要小(可以等于)，在所有子树中都成立，但注意此时，左右子节点的大小并没有进行比较，所以是未知。

        案例同上，只不过大小相反，不再赘述。

4.数组实现堆中的对应关系

        由数组实现方法中，会有数组下标和堆的抽象完全二叉树的对应关系，即数组中的第i元素在堆的哪个位置，或者说，堆中的元素映射在数组是哪个位置。

        对于一个根节点i，它的左子节点是i*2+1,它的右子节点是i*2+2(如果存在的话，在实际中，可能左右子节点都不存在，会超出数组的实际长度，需提前判断)。

        在下方的案例，元素6的下标在数组中对应2，2*2+1=5，数组中5对应的元素是1，而右子节点的元素是4，是一一对应的，而如果知道左子节点，或者右子节点，也可以反过来求根节点的在数组中的位置，对于一个左右子节点i，（i-1)/2即是根节点。

 

二. 堆构建

1.堆的构建过程

            在手动构建堆的过程中，可以用以下的方式来手动构建一个堆【1】，默认为大顶堆：

    

 在整个堆的构建过程中，就是

（1）依次添加每个元素

（2）比较新添加的元素是否比根节点大(默认为大顶堆)