售货员的难题-优快云博客

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本文深入解析了洛谷上的一道经典题目——旅行商问题(TSP)，通过对比暴力求解与剪枝优化，详细介绍了如何利用状态压缩动态规划（状压DP）解决TSP问题，提供代码实现及优化技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

精！神！污！染！

这题就是传说中的TSP问题。
TSP问题也就是最小哈密顿回路问题
在这题中，这里的图为完全图，所以我们不用邻接表，可以用邻接矩阵。
先来一种暴力做法，复杂度为 $\Theta(n*n!)$

#include<iostream>
using namespace std;
int a[41][41],vis[41],ans=2147483647,n;
void dfs(int i,int j,int l)
{
	if(j>ans) return;
	if(l==n&&j<ans)
	{
		ans=j;
		return;
	}
	for(int k=1;k<=n;k++)
		if(i!=k&&!vis[k])
		{
			vis[k]=1;
			dfs(k,j+a[i][k],l+1);
			vis[k]=0;
		}
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			cin>>a[i][j];
	dfs(1,0,0);
	cout<<ans;
}

~~别抄，有坑~~
然鹅，这题 $n < 20$ 的洛谷要求，让这题承受不起。
接下来，我们得进行如下剪枝：
如果目前累加的值已大于答案，那就立即回溯。
如果目前所有未搜的点加目前的值大于答案，就立即回溯。
然后一波乱搞就能过。
代码 ~~不是我写的，题解里抄的~~

正解

这题其实是状压DP。
设 $F [i, j]$ 表示状态 $i$ 时目前搜索到第 $j$ 个。
容易的到状态转移方程:
$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[{i\quad xor \quad1}<<j][k]+a[k][j]);$
代码:

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[1<<20][20],a[21][21],b,ans=2147483647;
int main()
{
	memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
	cin>>b;
	for(int i=0;i<b;i++)
		for(int j=0;j<b;j++)
			cin>>a[i][j];
	dp[1][0]=0;
	for(int i=1;i<1<<b;i++)
		for(register int j=0;j<b;j++)
			if(i&1<<j)for(register int k=0;k<b;k++)
						if(j!=k&&i&1<<k) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i^1<<j][k]+a[k][j]);
	for(int i=1;i<b;i++) ans=min(dp[(1<<b)-1][i]+a[i][0],ans);
	cout<<ans;
}

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