售货员的难题

本文深入解析了洛谷上的一道经典题目——旅行商问题(TSP),通过对比暴力求解与剪枝优化,详细介绍了如何利用状态压缩动态规划(状压DP)解决TSP问题,提供代码实现及优化技巧。

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精!神!污!染!


洛谷
学校OJ


这题就是传说中的TSP问题。
TSP问题也就是最小哈密顿回路问题
在这题中,这里的图为完全图,所以我们不用邻接表,可以用邻接矩阵。
先来一种暴力做法,复杂度为 Θ ( n ∗ n ! ) \Theta(n*n!) Θ(nn!)

#include<iostream>
using namespace std;
int a[41][41],vis[41],ans=2147483647,n;
void dfs(int i,int j,int l)
{
	if(j>ans) return;
	if(l==n&&j<ans)
	{
		ans=j;
		return;
	}
	for(int k=1;k<=n;k++)
		if(i!=k&&!vis[k])
		{
			vis[k]=1;
			dfs(k,j+a[i][k],l+1);
			vis[k]=0;
		}
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			cin>>a[i][j];
	dfs(1,0,0);
	cout<<ans;
}

别抄,有坑
然鹅,这题 n < 20 n<20 n<20的洛谷要求,让这题承受不起。
接下来,我们得进行如下剪枝:
如果目前累加的值已大于答案,那就立即回溯。
如果目前所有未搜的点加目前的值大于答案,就立即回溯。
然后一波乱搞就能过。
代码 不是我写的,题解里抄的


正解

这题其实是状压DP。
F [ i , j ] F[i,j] F[i,j]表示状态 i i i时目前搜索到第 j j j个。
容易的到状态转移方程:
d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i ] [ j ] , d p [ i x o r 1 < < j ] [ k ] + a [ k ] [ j ] ) ; dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[{i\quad xor \quad1}<<j][k]+a[k][j]); dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[ixor1<<j][k]+a[k][j]);
代码:

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[1<<20][20],a[21][21],b,ans=2147483647;
int main()
{
	memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
	cin>>b;
	for(int i=0;i<b;i++)
		for(int j=0;j<b;j++)
			cin>>a[i][j];
	dp[1][0]=0;
	for(int i=1;i<1<<b;i++)
		for(register int j=0;j<b;j++)
			if(i&1<<j)for(register int k=0;k<b;k++)
						if(j!=k&&i&1<<k) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i^1<<j][k]+a[k][j]);
	for(int i=1;i<b;i++) ans=min(dp[(1<<b)-1][i]+a[i][0],ans);
	cout<<ans;
}

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