力扣2920 收集所有金币可获得的最大积分

题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-points-after-collecting-coins-from-all-nodes/description/

解题思路：

最大积分（最优化解）+树形结构 + n~1e5 基本可以确定这道题要么o(n)（贪心，记忆化）要么dp。

尝试用dp来解，有一个主要洞察点：除以2这个操作其实执行不了多少次数就会被除没（变成0）。

题中的两种收集金币的方式一种会导致收集金币值-k，另一种会导致当前收集金币减半且后续子树上的金币全部减半。其中子树金币减半这个操作如果用代码来模拟则会消耗巨大的时间，所以我们考虑能否对这个操作进行记忆化或者说是dp，从而优化时间复杂度。

如果你能观察到上面的洞察点，那么dp就很好解决了，也就是说除2的次数可以被当成一个维度来构造dp算法（因为10000最多除14次就变成0了）。

定义 dp[i][j] 为 i号节点对应的子树 在 除以2^j以后 能够得到的最大值。
那么状态转移也顺理成章的出来了：

$max({\sum }_{x}dp[x][j]+coins[i]/2^j-k,{\sum }_{x}dp[x][j+1]+coins[i]/2^{j+1})$

CPP代码：

class Solution {
public:
    void dfs(int cur,int par,vector<vector<int>>& edge, vector<vector<int>>& dp, vector<int>& coins, int k)
    {
        for(int i=0;i<edge[cur].size();i++)
            if(edge[cur][i]!=par)dfs(edge[cur][i],cur,edge,dp,coins,k);
        for(int j=0;j<15;j++) //2^14=16,384 > 10,000,顶多除14次就为0了，这里设大点也没关系
        {
            int sum1=0,sum2=0;
            for(int i=0;i<edge[cur].size();i++)
            {
                int x=edge[cur][i];
                if(x==par)continue;
                sum1+=dp[x][j];
                sum2+=dp[x][j+1];
            }
            dp[cur][j]=max(sum1+(coins[cur]>>j)-k,sum2+(coins[cur]>>(j+1)));
        }
        return ;
    }
    int maximumPoints(vector<vector<int>>& edges, vector<int>& coins, int k) {
        vector<vector<int>> edge(coins.size());
        vector<vector<int>> dp(coins.size(),vector<int>(16,0));
        for(int i=0;i<edges.size();i++)
        {
            edge[edges[i][0]].push_back(edges[i][1]);
            edge[edges[i][1]].push_back(edges[i][0]);
        }
        dfs(0,-1,edge,dp,coins,k);
        return dp[0][0];
    }
};