【时间序列分析】06. AR(p)序列的性质

$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$ 序列的性质

自协方差函数的周期性

假设特征多项式 $A(z)$ 有 $p$ 个互异根 $z_j={\rho }_j{e}^{i{\lambda }_j},j=1,2,...,p$ ，则有因式分解
$$A(z)=(1-\frac{z}{z_1})(1-\frac{z}{z_2})...(1-\frac{z}{z_p})$$
利用代数的知识，存在非零常数 $c_1,c_2,...,c_p$ ，使得
$$A^{-1}(z)=\frac{1}{A(z)}=\frac{1}{(1-z/z_1)(1-z/z_2)...(1-z/z_p)}=\frac{c_1}{1-z/z_1}+\frac{c_2}{1-z/z_2}+...+\frac{c_p}{1-z/z_p}$$
代入到自协方差函数的 Y-W 方程中得到
γ k = A − 1 ( B ) σ 2 ψ − k = σ 2 ∑ j = 1 p c j ( 1 − B z j ) − 1 ψ − t = σ 2 ∑ j = 1 p c j ∑ l = 0 ∞ z j − l B l ψ − t = σ 2 ∑ j = 1 p c j ∑ l = 0 ∞ z j − l ψ − t + l ( ψ k = 0 ,   k < 0 ) = σ 2 ∑ j = 1 p c j ∑ l = t ∞ z j − l ψ − t + l = σ 2 ∑ j = 1 p c j ∑ l = t ∞ z j − l + t ψ − t + l ⋅ z j − t = σ 2 ∑ j = 1 p c j z j − t ∑ l = 0 ∞ z j − l ψ l = σ 2 ∑ j = 1