洛谷P2473 [SCOI2008]奖励关题解

最新推荐文章于 2021-11-15 14:29:53 发布

weixin_45429627

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本文介绍了如何利用状压DP解决SCOI2008奖励关的问题。由于数据范围限制，考虑使用状态转移。状态定义为fi,S表示前i-1个宝物在状态S下的第i到第k轮最大期望得分。通过枚举当前物品j，分析取与不取两种情况，并进行转移。最终答案为f1,0，整个过程需要除以n求期望。" 116330264,9288417,Python函数深入解析,"['Python', '编程语言', '函数定义', '参数传递']

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题目链接

分析：

看到数据范围 $n < = 15$ 就很容易想到状压DP：用 $f_{i,S}$ 表示前 $i$ 个宝物在是否取过的状态为S的情况下的最大期望得分。

但仔细一想会发现前面的选择会影响到后面的每个宝物是否能取，即不满足DP的无后效性原则。所以，我们将状态改为用 $f_{i,S}$ 表示前 $i - 1$ 个宝物在是否取过的状态为S的情况下第 $i$ 到第 $k$ 轮的最大期望得分。这样就可以倒序枚举第一维，满足无后效性原则。

转移时对于每一个 $f_{i,S}$ ，枚举当前物品 $j$ ，显然有两种情况（我们用 $s_i$ 表示宝物 $i$ 的前提宝物集合, $a_i$ 表示宝物 $i$ 的权值）：

1、当前取不到 $j$ ，即 $S\,\&\,s_j \not= s_j$ 时：

只能由不取转移，即：
$f_{i,S} = f_{i,S} + {f_{i + 1,S}}$

2、当前可以取 $j$ ，即 $S\,\&\,s_j = s_j$ 时：

选择取和不取中的最大值转移：
$f_{i,S} = f_{i,S} + {max(f_{i + 1,S},f_{i + 1,S \, | \,2 ^ {j - 1}} + a_j)}$
因为求的是期望，而每一种宝物都只有 $\frac1n$ 的可能性，所以最后要除以 $n$

最终答案即为 $f_{1,0}$ ，详见代码

Code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 16,maxm = 150,inf = 1e9;
int n,k,t,a[maxn],s[maxn];
double f[maxm][1 << maxn];
int read(){
    int x = 0,f = 1;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9'){
        if(c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + (c ^ 48),c = getchar();
    return x * f;
}
int main(){
    k = read(),n = read();
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        a[i] = read();
        while(t = read()) s[i] |= 1 << (t - 1);
    }
    for(int i = k; i >= 1; i --){
        for(int S = 0; S < (1 << n); S ++){
            for(int j = 1; j <= n; j ++){
                f[i][S] += max(f[i + 1][S],(S & s[j]) == s[j] ? f[i + 1][S | (1 << (j - 1))] + a[j] : -inf);//取不到就赋值为负无穷
            }
            f[i][S] /= n;
        }
    }
    printf("%.6lf\n",f[1][0]);
    return 0;
}