【P2473】[SCOI2008]奖励关期望概率+状压

最新推荐文章于 2021-11-15 14:29:53 发布

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本文探讨了一个关于游戏奖励关卡的问题，玩家需在有限次数内选择获取不同条件及分数的宝物以最大化平均得分。文章通过状态压缩和动态规划的方法，详细解析了如何计算最优策略下的期望得分。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。
宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。
获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。
假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入输出格式

输入格式：
第一行为两个正整数k 和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种
宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各
宝物编号为1到n），以0结尾。
输出格式：
输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

输入输出样例

输入样例#1：
1 2
1 0
2 0
输出样例#1：
1.500000
输入样例#2：
6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0
输出样例#2 :
10.023470

题解

我们考虑状态压缩，用 $S[i]$ 表示选第 $i$ 个宝物所需要的前提宝物集合，我们在枚举到 $i$ 的时候只需要判断一下,当前的状态是否包含 $S[i]$ 就可以了。
所求得为期望得分， $E(A)=P(A) *val[i]$ ,即得分的概率 $*$ 得分，
我们设 $f[i][j]$ 为到第i关当前所获得的宝物集合为j的期望得分,方程就很容易得到了。
期望DP一般倒推…

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
const int MAXN=1e5;
using namespace std;
int k,n,x,S[MAXN],sum;
double f[100][MAXN],ans,val[MAXN];
int main()
{
    scanf("%d%d",&k,&n);
    sum=(1<<(n+1))-1;//状态的最大数。这样写的话后面就不用1<<(j-1)了
//  base=1/n;
//  printf("%.4f",base);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf",&val[i]);
        while(scanf("%d",&x)&&x)
        {
            S[i]|=(1<<(x));//记录前提所需的宝物的集合
        }
        //cout<<S[i]<<endl; 
    }
//  Dfs(0,0);
    for(int i=k;i>=1;i--)//期望DP
    {
        for(int j=0;j<=sum;j++)
        {
            for(int z=1;z<=n;z++)
            {
                if((S[z]&j)==S[z]) f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<(z))]+val[z]);
                else f[i][j]+=f[i+1][j];
            }
            f[i][j]/=n;//每一种情况都会有/n的概率，结合一下
        }
    }
    printf("%.6f",f[1][0]);
    return 0;
}