固定波束形成:LS波束形成

LS波束形成的目的是使输出的方向响应逼近设置的方向响应。
如想设计一个波束形成器使得入射角度位于${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$之间的信号能够通过，而使来自其他方向的信号衰减，则期望的方向响应可以表示为：
$$S_{\mathrm{d}}(\theta )=\{\begin{array}{ll}1,& {\theta }_1⩽\theta ⩽{\theta }_2\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$
假设$\mathbf{W}={\left[w_1,w_2\cdots w_N\right]}^{\mathrm{T}}$是一个长度为N的滤波器，N为阵列的个数。$\theta$方向的导向矢量$$a(\theta )={\left[1,e^{-j2\pi \frac{d\sin (\theta )}{\lambda }},\dots ,e^{-j2\pi \frac{(N-1)d\sin (\theta )}{\lambda }}\right]}_{N\times 1}$$
则输出方向相应为：
$$S(\theta )=\sum _{n=1}^N{w}_n{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi (n-1)\frac{d\sin (\theta )}{\lambda }}={\mathbf{W}}^{\mathrm{T}}a(\theta )$$
然后定义LS的逼近准则为：
$${\epsilon }^2={\int }_0^{\pi }{\left|S(\theta )-S_{\mathrm{d}}(\theta )\right|}^2\mathrm{d}\theta$$
将上面公达式带入有：
$${\epsilon }^2={\mathbf{W}}^{\mathrm{T}}\mathbf{R}\mathbf{W}-2{\mathbf{W}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}+{\int }_0^{\pi }{\left|S_{\mathrm{d}}(\theta )\right|}^2\mathrm{d}\theta$$
其中：
$$\begin{array}{rl}\mathbf{R}& ={\int }_0^{\pi }\vec{a}(\theta ){\vec{a}}^{\mathrm{H}}(\theta )\mathrm{d}\theta \\ \mathbf{P}& ={\int }_0^{\pi }\mathrm{Re}\left[a(\theta )S_{\mathrm{d}}(\theta )\right]\mathrm{d}\theta \end{array}$$
则得最优解：$$W_{\mathrm{LS}}=R^{-1}P$$
LS波束形成设计好后，就与信噪比无关了，因此是固定波束形成得一种。