牛客练习赛72 D-brz的函数 (莫比乌斯反演)

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求 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\mu (ij)$

推公式：

由于积性函数的性质 当 $gcd(i,j)==1$ 的时候 $\mu (ij)=\mu (i)\ast \mu (j)$

所以式子可以变成这样：

​ ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n[gcd(i,j)==1]\mu (i)\mu (j)$

由反演性质可以将 $[gcd(i,j)==1]$ 转变为 ${\sum }_{k|gcd(i,j)}\mu (k)$ ，式子变成：

​ ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k|gcd(i,j)}\mu (k)\mu (i)\mu (j)$

改变枚举顺序，将枚举k提前，可以得到:

​ ${\sum }_{k=1}^n\mu (k){\sum }_{i=1}^{\frac{n}{k}}{\sum }_{j=1}^{\frac{n}{k}}\mu (i\ast k)\mu (j\ast k)$

再将每一项求和提出来可以变成:

​ ${\sum }_{k=1}^n\mu (k){\sum }_{i=1}^{\frac{n}{k}}\mu (i\ast k){\sum }_{j=1}^{\frac{n}{k}}\mu (j\ast k)$

然后发现后两项求的是同一个东西，再稍微做一点简化:

​ ${\sum }_{k=1}^n\mu (k)({\sum }_{i=1}^{\frac{n}{k}}\mu (i\ast k){)}^2$

这样式子是推出来了，从后面一项求和的上界可以发现随着k的变化，总会有一段区间的值是不变的，这里就可以用整除分块来优化时间，把所有的答案 $O(n\sqrt{n})$ 预处理出来，$O(1)$ 输出就好了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX = 5e4;
bool check[MAX+10];
int prime[MAX+10];
int mu[MAX+10];
int pre[MAX+10], ans[MAX+10];

void Mobius() {
	memset(check,false,sizeof(check));
	mu[1] = 1;
	int tot = 0;
	for(int i = 2; i <= MAX; i++) {
		if( !check[i] ) {
			prime[tot++] = i;
			mu[i] = -1;
		}
		for(int j = 0; j < tot; j++) {
			if(i * prime[j] > MAX) break;
			check[i * prime[j]] = true;
			if( i % prime[j] == 0) {
				mu[i * prime[j]] = 0;
				break;
			} else {
				mu[i * prime[j]] = -mu[i];
			}
		}
	}
	
	for(int i = 1;i <= MAX; i++) {
		int res = 0;
		for(int l = i, r; l <= MAX; l = r+1) {
			r = min(MAX, l+i-1);
			res += mu[l];
			ans[l] += mu[i] * res * res;
			ans[r+1] += -mu[i] * res * res;
		}
	}
	
	for(int i = 1;i <= MAX; i++) {
		ans[i] = ans[i-1] + ans[i];
	}
}

int _, n;

int main() {
	Mobius();
	scanf("%d", &_);
	while(_--) {
		scanf("%d", &n);
		printf("%d\n", ans[n]);
	}
}