数论欧拉定理
一、欧拉定理
-
定义：
- 若 ( a ) 与 ( n ) 互质，则有：
a ϕ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} aϕ(n)≡1(modn) - 其中，( a ) 和 ( n ) 不一定都是质数（例如 5 和 6）。
- 若 ( a ) 与 ( n ) 互质，则有：
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含义：
- 欧拉定理表明，如果 ( a ) 和 ( n ) 互质，那么 ( a ) 的phi[n] 次幂对 ( n ) 取模的结果为 1。
- 其中 phi[n] 是欧拉函数，表示小于等于 ( n ) 的正整数中与 ( n ) 互质的数的个数。
( a ϕ ( n ) − 1 ) m o d n = 0 ⇔ a ϕ ( n ) m o d n = 1 (a^{\phi(n)} - 1) \mod n = 0 \Leftrightarrow a^{\phi(n)} \mod n = 1 (aϕ(n)−1)modn=0⇔aϕ(n)modn=1
其中
二、费马定理
- 定义：
- 当 ( n ) 为质数时，欧拉定理可以简化为费马小定理：
a n − 1 ≡ 1 ( m o d n ) a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n} an−1≡1(modn) - 这是因为当 ( n ) 为质数时，phi[n] = n - 1
- 当 ( n ) 为质数时，欧拉定理可以简化为费马小定理：
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