n阶行列式的定义

最新推荐文章于 2024-09-04 22:29:19 发布
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分类专栏： 笔记
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n阶行列式可以通过递归定义，对于一阶行列式其值等于该数本身。对于n阶行列式，通过代数余子式计算，如二阶行列式可以按行或列展开。行列式可以用detA表示，也可写作ΙAΙ, ΙaijΙ或其他形式。" 109496219,9169208,Java上传图片后颜色失真问题解析,"['Java开发', '图像处理', '文件上传']

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一阶方阵 A = (a11) = a11，detA定义为a11
即由一个数组成的一阶方阵和它的行列式就是这个数本身。
假设n–1阶方阵的行列式已有定义，下面递推地给出n阶方阵的行列式定义。
设A=(aij)是数域F上的n阶矩阵。
划去A的元aij所在的第i行、第j列的元
A中剩下的(n–1)2 个元按原来的排列顺序组成的n–1阶矩阵的行列式
称为Aij为元aij的代数余子式，记作Mij。
令
Aij = (-1)i＋j Mij
称Aij为元aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)。

例:
二阶矩阵
A = [a11，a12；a21，a22]
第一行元a11和a12的余子式分别为M11=a22，M=a23，代数余子式为
A11 = (–1)1＋1 = a22
A12 = (–1)1＋2 = –a21
而detA = a11A11 ＋ a12A1

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【线性代数·浅学】（一）行列式——n阶行列式定义，行列式性质，行列式展开定理，拉普拉斯定理，范德蒙德行列式，克拉默法则
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07-09 3676
基础定义 n阶行列式的定义 行列式性质 性质推论 行列式展开定理 拉普拉斯定理 公式与法则 上（下）三角行列式 范德蒙德行列式 克拉默法则
1.3 n阶行列式
Muzhi0的博客
06-12 938
(∣C∣)∣a11a12...a1nar1+br1ar2+br2...arnbrn(r)......an1an2...ann∣=(∣A∣)∣a11a12...a1nar1ar2...arn......an1an2...ann∣+(∣B∣)∣a11a12...a1nbr1br2...brn......an1an2...ann∣(|C|)\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{r1}+b_{r1}&a_{r2}+b_{r2}&...&a_{rn}b_{rn}
n阶行列式定义
weixin_34128501的博客
11-09 703
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> ...
【线性代数】n阶行列式
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09-13 1994
01
基于逆序数法的n阶行列式的定义
2301_79315126的博客
04-28 1579
首先明确定义的概念。定义是人为设定的，从古至今的经验归纳而来，默认为事实的语言描述，是其所在体系中一切的开始与基础，目的在于对现实客观存在给出承载体，让人们更好的理解和认识这个概念。其中t(...)即为列的排列对应的逆序数，比如上述三阶行列式a11a23a32。正负判断即为。通过此定义可以很直观的证明有关n阶行列式的性质。比如：互换行列式任意两行（或列）元素，行列式变号。|A|=|A|=显然所以得证。
几类特殊N阶行列式的计算.doc
10-11
行列式的计算在高等代数及理工科线性代数中占有重要地位，尤其对于N阶行列式，当阶数较大时，直接应用定义计算变得极其复杂，因此研究高效计算方法至关重要。 文献综述： 国内研究主要集中在行列式的定义、性质、...
n阶行列式
chbxw
08-04 1008
全排列及其逆序数 n阶行列式 例1： 为什么对角线法则不能推广到高阶行列式， 根据上面n阶行列式定义可得下图的行列式， 例2： 巧用行列式的一般项
线性代数 01.01 n阶行列式的定义
一朵花开的时间
12-19 925
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N阶行列式计算器（附源程序）
04-04
用ＶＢ编写的行列式计算器，用递归算法，原则上可以是Ｎ阶,可运行超过１２阶后，计算速度很慢
n阶行列式计算 C语言 实现
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用C语言实现的n阶行列式计算,希望大家能多提意见让程序更加完善~
【线性代数（2）】n阶行列式三种定义
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n阶行列式1. 回顾2. n阶行列式2.1 第一种定义2.2 表示方式2.3 举个例子2.4 三角行列式 1. 回顾 先回顾一下之前的三阶行列式，看一下其中的规律 ∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11∗a22∗a33+a12∗a23∗a31+a13∗a21∗a32−a13∗a22∗a31−a12∗a21∗a33−a11∗a23∗a32\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} &a
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大学数学分为三大块：1.高等数学  2.线性代数  3.概率统计 N阶行列式就是属于线性代数中的知识！    程序并不是很完善，但基本的逻辑清晰，上代码...... import java.util.Scanner; /** * * @author 慕一春 * @version 1.0.0 * @filename DetN.java * @time 2016-7-
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线性代数n阶行列式
最新发布
03-21
### 关于n阶行列式的定义与计算 #### 一、n阶行列式的定义 n阶行列式是从一个 \( n \times n \) 的矩阵中提取的一个标量值。它可以通过递归的方式定义，也可以基于全排列及其逆序数来表达。具体来说，对于任意 \( n \times n \) 方阵 \( A = (a_{ij}) \)，其对应的n阶行列式可以写成如下形式： \[ |A| = \sum_{(j_1,j_2,\ldots,j_n)} (-1)^{\tau(j_1,j_2,\ldots,j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \] 其中，\( (j_1, j_2, \ldots, j_n) \) 是自然数 \( 1, 2, \ldots, n \) 的一种排列，而 \( \tau(j_1, j_2, \ldots, j_n) \) 则代表该排列的逆序数[^3]。 #### 二、n阶行列式的性质 以下是关于n阶行列式的一些重要性质： 1. **转置不变性**：如果将矩阵 \( A \) 转置，则其行列式的值保持不变，即 \( |A^T| = |A| \)[^2]。 2. **行交换影响正负号**：当互换两行（或列）时，行列式的值会变号。 3. **比例关系**：若某一行的所有元素都乘以常数k，则整个行列式的值也会被这个常数所放大，即 \( |\text{kR}_i(A)| = k|A| \)。 4. **加法分配律**：如果有两个矩阵仅在某一行不同，其余部分相同，则它们对应行列式的和等于分别取这两行作为原位置所得新矩阵的行列式之和。 5. **零行/列特性**：只要有一整行或者整列为0向量，那么此行列式的值必然是0。 #### 三、n阶行列式的计算方法 针对较大的n阶行列式，通常采用降阶的方法简化计算过程。主要思路是利用拉普拉斯展开定理，选取某一固定行或列逐步消减规模直至达到可以直接处理的小型情况为止。例如，在实际操作过程中可以选择第一行为基准点进行拆分： \[ |A| = \sum^n_{j=1}(-1)^{1+j}a_{1j}|M_{1j}| \] 这里 \( M_{1j} \) 表示去掉第1行和第j列之后剩下的子矩阵形成的(n-1)阶主子式[^1]。 ```python import numpy as np def determinant(matrix): """Calculate the determinant of an nxn matrix using recursion.""" size = len(matrix) if size == 1: return matrix[0][0] elif size == 2: return matrix[0][0]*matrix[1][1]-matrix[0][1]*matrix[1][0] else: det = 0 for col in range(size): sub_matrix = [row[:col]+row[col+1:] for row in matrix[1:]] sign = (-1)**col cofactor = matrix[0][col] * determinant(sub_matrix) det += sign*cofactor return det example_matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] print(determinant(example_matrix)) # Output should be zero since rows are linearly dependent. ```
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