报童问题的简单解法

最新推荐文章于 2024-03-31 21:36:26 发布

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#概率论 #算法

本文提供了一个比传统解法更简单的报童问题解决方案。通过期望收益最大化，推导出最优采购量 x 的公式，涉及随机变量 D 的概率分布、累积分布函数以及临界分位数的概念。

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我们早先已经在《报童问题》一文中介绍了这个经典的商品采购模型。文中的推导略有些繁复。为了便于理解，本文将给出一个相对简单的解法。

问题

我们还是沿用前文的记号。问题定义如下：

每天早上，报童以批发价 $c$ 元/份采购当天的报纸，然后以零售价 $p$ 元/份售卖。如果当天报纸没有卖完，则以 $s$ 元/份的价格卖给废品回收站。不失一般性，假设 $p > c > s$ 。用随机变量 $D$ 表示当天的需求量，并已知其概率分布。求使得期望收益最大的采购量 $x$ 。

求解

收益为总销售额减去总成本：
$\begin{aligned} \pi(x, D) &= p\cdot \min(x, D)+s\cdot\max(x-D, 0)-c\cdot x\\ &=p\cdot \min(x, D)+s\cdot[\max(x, D) - D]-c\cdot x\\ &=p\cdot \min(x, D)+s\cdot[x+D - \min(x, D) - D]-c\cdot x\\ &=(p-s)\cdot \min(x, D)-(c-s)\cdot x \end{aligned}$