本文提供了一个比传统解法更简单的报童问题解决方案。通过期望收益最大化，推导出最优采购量 x 的公式，涉及随机变量 D 的概率分布、累积分布函数以及临界分位数的概念。
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我们早先已经在《报童问题》一文中介绍了这个经典的商品采购模型。文中的推导略有些繁复。为了便于理解，本文将给出一个相对简单的解法。
问题
我们还是沿用前文的记号。问题定义如下：
每天早上，报童以批发价 c c c 元/份采购当天的报纸，然后以零售价 p p p 元/份售卖。如果当天报纸没有卖完，则以 s s s 元/份的价格卖给废品回收站。不失一般性，假设 p > c > s p>c>s p>c>s。用随机变量 D D D 表示当天的需求量，并已知其概率分布。求使得期望收益最大的采购量 x x x。
求解
收益为总销售额减去总成本：
π ( x , D ) = p ⋅ min ( x , D ) + s ⋅ max ( x − D , 0 ) − c ⋅ x = p ⋅ min ( x , D ) + s ⋅ [ max ( x , D ) − D ] − c ⋅ x = p ⋅ min ( x , D ) + s ⋅ [ x + D − min ( x , D ) − D ] − c ⋅ x = ( p − s ) ⋅ min ( x , D ) − ( c − s ) ⋅ x \begin{aligned} \pi(x, D) &= p\cdot \min(x, D)+s\cdot\max(x-D, 0)-c\cdot x\\ &=p\cdot \min(x, D)+s\cdot[\max(x, D) - D]-c\cdot x\\ &=p\cdot \min(x, D)+s\cdot[x+D - \min(x, D) - D]-c\cdot x\\ &=(p-s)\cdot \min(x, D)-(c-s)\cdot x \end{aligned} π(x,D)=p⋅min(x,D)+s⋅max(x−D,0)−c⋅x=p⋅min(x,D)+s⋅[max(x,D)
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