连续与离散复指数信号对比：周期信号的傅里叶分析-优快云博客

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本文探讨了连续时间复指数信号与离散时间信号的区别，涉及它们的基波频率、周期性以及傅里叶级数表示。重点讲解了连续非周期信号和离散非周期信号的傅里叶变换特性。

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1、连续、离散时间复指数信号的关系与区别

$x(t)=e^{jw_{0}t}$

连续时间复指数信号的基波频率不同 $w_{0}$ 对应着不同的信号。 $w_{0}$ 越大，信号振荡频率越快。

$x[n]=e^{jw_{0}n}=e^{j(w_{0}+2\pi )n}$

离散时间复指数信号的基波频率 $w_{0}$ 与 $w_{0}+2\pi n$ 对应着同一信号。 $w_{0}$ 从 $0$ 开始增加，到 $\pi$ 时信号振荡频率达到最快，从 $\pi$ 到 $2\pi$ ，信号振荡频率下降至 $0$ 。

因此，在离散时间域，一般只在一个基波周期内做信号分析。

举例：

（1）

$x(t)=cos(\frac{\pi t}{4})$ 与 $x(t)=cos(\frac{\pi n}{4})$

（2）

$x(t)=cos(\frac{9\pi t}{4})$ 与 $x(t)=cos(\frac{9\pi n}{4})=cos(\frac{\pi n}{4})$

可以看出， $x(t)=cos(\frac{\pi n}{4})$ 与 $x(t)=cos(\frac{\9\pi n}{4})$ 是相等的。Matlab代码如下，可更改信号基波频率进行测试：

%% 连续时间 x(t) = cos(Π*t/4)
w0 = pi/4;                          % 基波频率
T = 2*pi/w0;                        % 基波周期
ratio = 10;                         % 增大采样点数的比率（用离散时间表示来连续时间，需要增大采样点数使信号更加光滑）
n_perid = 2;                        % 显示几个周期
n = 0:1/ratio:n_perid*T-1/ratio;    % 采样点

xt=cos(w0*n);                       % 用离散信号表示连续时间信号
                                    % 用ratio增加采样点数。当ratio=1，一个周期采样点是2*pi/w0=8，信号不够光滑
                                    % 因此增大ratio，使画出的图像更加光滑
subplot(2,1,1);
plot([0:length(n)-1]/length(n)*length(n)/ratio,xt)  
                                    % [0:length(m)-1]/length(m)*length(m)/ratio将横坐标映射到连续时间上
grid on;
title('x(t) = cos(Πt/4)，基波周期T=8')
subplot(2,1,2);
plot([0:length(n)-1]/length(n)*length(n)/ratio,xt,'--') 

%% 离散时间 x[n] = cos(Π*n/4)
clear all;
w0 = pi/4;                          % 基波频率
T = 2*pi/w0;                        % 基波周期
n_perid = 2;                        % 显示几个周期
n = 0:n_perid*T-1;
xn=cos(w0*n);

hold on;stem(0:length(n)-1,xn)
title('x[n] = cos(Πn/4)，基波周期T=8')
grid;

%% 连续时间 x(t) = cos(9Πt/4)
clear all;
figure;
w0 = 9*pi/4;                        % 基波频率
T = 2*pi/w0;                        % 基波周期
ratio = 100;                        % 增大采样点数的比率（用离散时间表示来连续时间，需要增大采样点数使信号更加光滑）
n_perid = 18;                       % 显示几个周期
n = 0:1/ratio:n_perid*T-1/ratio;   	% 采样点

xt=cos(w0*n);                       % 用离散信号表示连续时间信号
                                    % 用ratio增加采样点数。当ratio=1，一个周期采样点是2*pi/w0=8，信号不够光滑
                                    % 因此增大ratio，使画出的图像更加光滑
subplot(2,1,1);
plot([0:length(n)-1]/length(n)*length(n)/ratio,xt)  
                                    % [0:length(m)-1]/length(m)*length(m)/ratio将横坐标映射到连续时间上
grid;
title('x(t) = cos(9Πt/4)，基波周期T=8/9')
subplot(2,1,2);
plot([0:length(n)-1]/length(n)*length(n)/ratio,xt,'--')  

%% 连续时间 x(t) = cos(9Πn/4)
clear all;
w0 = mod(9*pi/4,2*pi);              % 基波频率
T = 2*pi/w0;                        % 基波周期
n_perid = 2;                        % 显示几个周期
n = 0:n_perid*T-1;
xn=cos(w0*n);
subplot(2,1,2);
hold on;stem(0:length(n)-1,xn)
title('x[n] = cos(9Πn/4) = cos(Πn/4)，基波周期T=8')
grid;

2、连续周期信号的傅里叶级数表示

绝大部分连续周期信号 $x(t)$ 可用一组成谐波关系的复指数信号的线性组合表示：

$x(t)=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jkw_{0}t}$

$a_{k}=\frac{1}{T}\int_{T}^{ }x(t)e^{-jkw_{0}t}$

$a_{k}$ 是各谐波分量的幅度值，表明了信号频率成分信息，不同的 $k$ 值对应不同的频率分量。 $T=\frac{2\pi }{w_{0}}$ 是基波周期，也是各谐波分量的公共周期。例如：基波频率为 $w_{0}=\frac{\pi }{4}$ ，则有谐波频率为 $\frac{2\pi }{4}$ 、 $\frac{3\pi }{4}$ 、...、 $\frac{k\pi }{4}$ 。

3、离散周期信号的傅里叶级数表示

绝大部分离散周期信号 $x[n]$ 可用一组成谐波关系的复指数信号（有限个）的线性组合表示：

$x[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jk\frac{2\pi }{N}n}$

根据前面的内容，离散时间域，成谐波关系的复指数信号个数为有限个，基波频率与谐波频率在 $0$ ~ $2\pi$ 之间。例如：基波频率为 $w_{0}=\frac{\pi }{4}$ ，则有谐波频率为 $\frac{2\pi }{4}$ 、 $\frac{3\pi }{4}$ 、 $\frac{4\pi }{4}$ 、 $\frac{5\pi }{4}$ 、 $\frac{6\pi }{4}$ 、 $\frac{7\pi }{4}$ 、 $\frac{8\pi }{4}$ 。

$a_{k}=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}^{ }x[n]e^{-jk\frac{2\pi }{N}n}$

$a_{k}$ 是各谐波分量的幅度值，表明了信号频率成分信息，与连续时间信号不同的是，这里的 $a_{k}$ 是周期为 $N$ 的周期信号，即 $a_{0}=a_{mN},m=...,-1,0,1,..$ 。 $N=\frac{2\pi }{w_{0}}$ 是基波周期，也是各谐波分量的公共周期。

4、连续非周期信号的傅里叶变换

根据连续周期信号的傅里叶级数表示推出连续非周期信号的傅里叶变换：取 $T =\infty$ ， $w = kw_{_0}$ ， $F(jw)=Ta_{k}$ 。则有：

$x(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }F(jw)e^{jwt}dw$

$F(jw)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jwt}dt$

由于 $T =\infty$ ，因此 $w_{0}=\frac{2\pi }{T}$ 趋近于 $0$ ，所以连续非周期信号的傅里叶变换 $F(jw)$ 在频域表现为连续。

直观来看， $F(jw)$ 为积分运算，积分运算导致其幅度存在 $w$ 变量，因此 $F(jw)$ 在频域表现为非周期；根本原因是时域连续信号的傅里叶级数系数 $a_{k}$ 为非周期，而 $F(jw)=Ta_{k}$ ，因此 $F(jw)$ 为非周期。

5、连续周期信号的傅里叶变换

分析 $e^{jw_{0}t}$ 的傅里叶变换为 $2\pi \delta(w-w_{0})$ ，根据连续周期信号的傅里叶级数表示，可以推出：

$x(t)=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jkw_{0}t}$

$F(jw)=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_{k}\delta(w-kw_{0})$

可以看出，连续周期信号的傅里叶的傅里叶变换 $F(jw)$ 在频域表现为离散。

直观来看， $F(jw)$ 为冲激串，其幅度与傅里叶级数系数 $a_{k}$ 有关，而时域连续导致 $a_{k}$ 是 $k$ 的非周期函数，因此 $F(jw)$ 在频域（对于 $w=kw_{0}$ ）表现为非周期。根本原因是时域连续信号的傅里叶级数系数 $a_{k}$ 为非周期，而 $F(jw)=Ta_{k}$ ，因此 $F(jw)$ 为非周期。

6、离散非周期信号的傅里叶变换

根据离散周期信号的傅里叶级数表示推出离散非周期信号的傅里叶变换：取 $N =\infty$ ， $w = kw_{_0}$ ， $F(jw)=Na_{k}$ 。则有：

$x[n]=\frac{1}{2\pi }\int_{2\pi }^{}F(jw)e^{jwn}dw$

$F(jw)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x[n]e^{-jwn}$

由于 $N =\infty$ ，因此 $w_{0}=\frac{2\pi }{N}$ 趋近于 $0$ ，所以离散非周期信号的傅里叶变换 $F(jw)$ 在频域表现为连续。

直观来看， $F(jw)$ 为累加运算， $F(jw)$ 的幅度中无 $w$ 变量，且 $e^{-jwn}$ 是 $w$ 的周期函数，因此 $F(jw)$ 在频域表现为周期，且周期为 $2\pi$ ；根本原因是时域离散信号的傅里叶级数系数 $a_{k}$ 为周期，而 $F(jw)=Na_{k}$ ，因此 $F(jw)$ 为周期。

7、离散周期信号的傅里叶变换

分析 $e^{jw_{0}n}$ 的傅里叶变换为 $\sum_{l=-\infty}^{+\infty }2\pi \delta (w-w_{0}-2\pi l)$ ，根据离散周期信号的傅里叶级数表示，可以推出：

$x[n] = \sum_{k=-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jkw_{0}n}$

$F(e^{jw})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty }2\pi a_{k}\delta(w-kw_{0})$

以看出，离散周期信号的傅里叶的傅里叶变换 $F(e^{jw})$ 在频域表现为离散。

直观来看， $F(e^{jw})$ 为冲激串，其幅度与傅里叶级数系数 $a_{k}$ 有关，而时域离散导致 $a_{k}$ 是 $k$ 的周期函数，因此 $F(e^{jw})$ 在频域（对于 $w=kw_{0}$ ）表现非周期。根本原因是时域离散信号的傅里叶级数系数 $a_{k}$ 为周期，而 $F(e^{jw})=Ta_{k}$ ，因此 $F(e^{jw})$ 为周期。