网易2019实习生招聘编程题之数对

• 限制

时间限制：1秒  空间限制：32768K

• 题目描述

牛牛以前在老师那里得到了一个正整数数对(x, y), 牛牛忘记他们具体是多少了。
但是牛牛记得老师告诉过他x和y均不大于n, 并且x除以y的余数大于等于k。
牛牛希望你能帮他计算一共有多少个可能的数对。

• 输入描述

输入包括两个正整数n,k(1 <= n <= 10^5, 0 <= k <= n - 1)。

• 输出描述

对于每个测试用例, 输出一个正整数表示可能的数对数量。

• 示例1

输入: 5 2
输出: 7
说明: 满足条件的数对有(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,3)

• 分析

1. 首先想到的肯定是枚举法，但对于n < =100000来说，肯定会超过时间的限制
2. 考虑条件x除以y的余数大于等于k,所以除数$$y\in [k+1,n]$$
3. 假设 x是[0,n]之间的任意值，那么在这段区间至少可以分成n/y个完整的，长度为y的区间：x = [1……y-2，y-1,y] [y+1，……，2y-1，2y]……[……]…… [……，n]，在每个区间上，除以y的余数分别是1,2，······，y-1,0，满足x除以y的余数大于等于k的有y-k个；对于最后一段，长度可能不够y，计算该区间上满足条件的个数为：n%y-k+1

• 具体如下：
  如示例1：n=5，k=2

1. 由于x除以y的余数大于等于k,所以y=3,4,5
2. y=3，x被分为[1,2,3] [4,5] 5%3 =1个完整区间 每个区间内有y-k=3-2=1个满足条件，对于最后一段区间长度不够y=3，用n%y-k+1=5%3-2+1=1个满足条件；
3. 同理y=4 有n%y*(y-k)+n%y-k+1=5%4*(4-2)+5%4-2+1=2个满足条件；
4. y=5 ,没有不完整段，所以有n%y*(y-k)=5%5*(5-2)=3个满足条件；
   综上：共有7个满足条件；

• 代码

if __name__ == "__main__":
    n,k = map(int,input().split())
    count = 0
    if k == 0: # k = 0是一种特殊情况
        count = n * n
    else:
        for i in range(k+1,n+1):
            count += (n // i) *(i - k) + max(0,(n % i) - k +1)  
       #此处需注意 如果用以下代码代替会出现错误情况，如k = 4, n = 5时，5 % 4 - 4  + 1 = -4 ，此时最后一段满足的个数为0，而不会是复数
      #  for i in range(k+1,n+1):
            #count += (n // i) *(i - k)
           # if n % i != 0:
               # count = count + (n % i) - k + 1
    print(count)

• 结果