2021年第十二届蓝桥杯省赛第二场C/C++B组题解 试题 H: 完全平方数

一、问题描述

一个整数a是一个完全平方数，是指它是某一个整数的平方，即存在一个整数b，使得 $a=b^2$。
给定一个正整数n，请找到最小的正整数x，使得它们的乘积是一个完全平方数。

输入格式： 输入一行包含一个正整数n。
输出格式： 输出找到的最小的正整数x。

示例 1
输入：12
输出：3

示例 2
输入：15
输出：15

评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，答案不超过 1000。
对于 60% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 10⁸，答案不超过10⁸。
对于所有评测用例，1 ≤ n ≤ 10¹²，答案不超过10¹²。

二、问题分析

  这道题是一道数论编程题，首先要知道质因子，才可以做这道题。虽然暴力可以解，但会超时。暴力也应该能拿部分分数。这里讲解一下知道质因子之后，要怎么解决问题。
  $x$初始化为1，将$n$分解成 $n$$=$$p_1^{a_1}$$\times$$p_2^{a_2}$$\times \cdot \cdot \cdot \times$$p_i^{a_i}$$\cdot \cdot \cdot \times$$p_r^{a_r}$，若$a_i$为奇数，那$x$就乘一个$p_i$。

三、代码实现

// 编程软件：Dev-C++ 5.4.0 
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main(){
	ll n;
	cin >> n;
	ll x = 1; // 最小正整数，初始化为1 
	for(int p=2; p*p<=n; p++){
		if(n%p==0){
			int a=0; // 记录一个质因子的指数 
			while(n%p==0){
				n /= p;
				a++;
			}
			if(a%2==1) x *= p; // 质因子指数为奇数，那x乘上一个质因子 
		}
	}
	if(n>1) x *= n; // 最后还有一个指数为1的质因子，那就再乘上一个质因子 
	cout << x;
	return 0; 
}