HDU 1576 （扩展欧几里得算法＋试探法）

最新推荐文章于 2021-05-12 09:35:20 发布

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本文介绍了一种解决特定数学问题的方法，利用扩展欧几里得算法求解模逆元，以计算(A/B)%9973的问题。通过给定A对9973的余数n和B，当A能被B整除且B与9973互质时，求解(A/B)模9973的值。提供了两种解法，一种是使用扩展欧几里得算法，另一种是试探法。

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

Input
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output
对应每组数据输出(A/B)%9973。

Sample Input
2
1000 53
87 123456789

Sample Output
7922
6060

方法一：
扩展欧几里得算法:参考：https://blog.youkuaiyun.com/yoer77/article/details/69568676
输入的n=A%9973（没有输入A）,A%B=0（A必能被B整除），B与9973互素（GCD(B,9973)=1）。
解题过程首先是建立方程，然后才能编写程序。
设x=(A/B)%9973（x是最终想计算的值），则9973k+x=A/B（k为整数），得A=9973Bk+xB。
因为n=A%9973与A=9973Bk+xB，所以xB%9973=n，得xB=n+9973y。
故：(x/n)B+(-y/n)9973=1=GCD(B,9973)，该方程有解。
要求x和y，先求X=x/n和Y=-y/n,即先解方程BX+9973Y=1。
最后,x=X*n。
需要注意的是，求得的x有可能是负值，需要进行调整。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll x,y;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=y;
    y=x-(a/b)*y;
    x=t;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ll n,b;
        scanf("%lld %lld",&n,&b);
        exgcd(b,9973,x,y);
        x*=n;
        printf("%lld\n",(x%9973+9973)%9973);
    }
    return 0;
}

方法二：
试探法：
输入的n=A%9973（没有输入A）,A%B=0（A必能被B整除），B与9973互素（GCD(B,9973)=1）。
解题过程首先是建立方程，然后才能编写程序。
设x=(A/B)%9973（x是最终想计算的值，满足0<=x<=9972），则9973k+x=A/B（k为整数），得A=9973Bk+xB。
因为n=A%9973与A=9973Bk+xB，所以xB%9973=n，得xB=n+9973y，亦得xB-n=9973y。
故：(xB-n)%9973=0

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    ll n,b,a=9973;
    while(T--){
        scanf("%lld %lld",&n,&b);
        for(ll i=0;i<a;i++){
            if((i*b-n)%a==0){
                printf("%lld\n",i);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}