模型的评估与选择

模型评估与模型选择

1. 训练误差：模型 $Y=\hat{f}(X)$ 关于训练集 $T$ 的平均(经验)损失

   $$R_{emp}(\hat{f})=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L(y_i,\hat{f}(x_i))$$

2. 测试误差：模型 $Y=\hat{f}(X)$ 关于测试集的平均(经验)损失

   $$e_{test}=\frac{1}{N^{{}^{\prime }}}\sum _{i=1}^{N^{{}^{\prime }}}L(y_i,\hat{f}(x_i))，其中N^{{}^{\prime }}是测试样本容量$$

   $$当损失函数是\text{0-1}损失函数时，e_{test}=\frac{1}{N^{{}^{\prime }}}\sum _{i=1}^{N^{{}^{\prime }}}I(y_i̸=\hat{f}(x_i))；r_{test}=\frac{1}{N^{{}^{\prime }}}\sum _{i=1}^{N^{{}^{\prime }}}I(y_i̸=\hat{f}(x_i))$$

   $$显然，e_{test}+r_{test}=1。其中r_{test}是准确率，I是指示函数，即y̸=\hat{f}(x)时为1，否则为0。$$

3. 模型选择（model selection）：当假设空间的模型具有不同复杂度（例如，参数个数不同）时， 就要面临模型选择的问题

4. 过拟合（over-fitting）

   • 如果一味追求提高对训练数据的预测能力，所选模型的复杂度往往会比真模型更高。
   • 学习时选择的模型所包含的参数过多，以致于出现这一模型对己知数据预测得很好，但对未知数据预测得很差的现象
   • 模型选择，旨在避免过拟合，并提高模型的预测能力

5. 模型选择方法

   • 正则化：结构风险最小化策略的实现

     $$\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }{R}_{srm}(f)=\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)$$

     • 正则化的作用：选择经验风险与模型复杂度 $ J(f)$ 同时较小的模型

     • 正则化项 $ J(f)$ 的不同形式

       （1）回归问题中损失函数是平方损失，正则化项：参数向量 $w$ 的 $L_1$ 范数，即$\parallel w{\parallel }_1$

       $$损失函数L(w)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y_i-f(x_i;w){)}^2+\lambda \parallel w{\parallel }_1$$

       （2）回归问题中损失函数是平方损失，正则化项：参数向量 $w$ 的 $L_2$ 范数，即$\parallel w\parallel_2 $

       $$损失函数L(w)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y_i-f(x_i;w){)}^2+\frac{\lambda }{2}\parallel w{\parallel }_2$$

     • 奥卡姆剃刀原理（Occam’s razor）

       • 正则化符合奥卡姆剃刀原理
       • 最好的模型：能够很好地解释己知数据并且十分简单才是最好的模型
       • 从贝叶斯估计的角度来看， 正则化项对应于模型的先验概率。可以假设复杂的模型有较大的先验概率，简单的模型有较小的先验概率

   • 交叉验证

     • 基本思想：重复地使用数据
     • 简单交叉验证
     • $S$折交叉验证
     • 留一交叉验证（$S$折交叉验证的特例，$S=N,N为数据集的容量$）

泛化能力

1. 泛化能力（generalization ability）：机器学习方法学习到的模型，对未知数据的预测能力。

2. 泛化误差（generalization error）：反映了机器学习方法的泛化能力。

   • 泛化误差，即学习到的模型 $\hat{f}$ 的风险函数（损失函数的期望）：

     $$R_{exp}(\hat{f})=E_P[L(Y,\hat{f}(X))]={\int }_{\mathcal{X}\times \mathcal{Y}}L(y,\hat{f}(x))P(x,y)dxdy$$

3. 泛化误差上界

   • 作用：通过比较两种学习方法的泛化误差上界的大小，来比较方法的优劣。

   • 泛化误差上界是样本容量的函数。 当样本容量增加时，泛化上界趋于0。

   • 泛化误差上界是假设空间容量的函数。假设空间容量越大，模型就越难学， 泛化误差上界就越大。

   • 定理（泛化误差上界）：对二类分类问题，当假设空间是有限个函数的集合 F={f1,f2,...fd}\mathcal{F}=\{f_1,f_2,...f_d\}F={f1​,f2​,...fd​} 时，对任意个函数$f\in \mathcal{F}$， 至少以概率 $1-\delta$，使得以下不等式
     成立：

     $$R(f)\le \hat{R}(f)+\epsilon (d,N,\delta )，其中，\epsilon (d,N,\delta )=\sqrt{\frac{1}{2N}(\log d+\log \frac{1}{\delta })}$$

     • 不等式左侧：泛化误差 $R(f)$；

     • 不等式右侧：训练误差 $\hat{R}(f)$ ，训练误差越小，泛化误差也越；

       $\epsilon (d,N,\delta )$ 是 $N$ 的单调递减函数， 当 $N$ 趋于无穷时，$\epsilon (d,N,\delta )$ 趋于0。同时它也是$\sqrt{\log d}$ 阶的函数，假设空间 $\mathcal{F}$ 包含的函数越多，$\epsilon (d,N,\delta )$ 值越大。