【洛谷】P1025 数的划分 题解

原题地址：https://www.luogu.org/problem/P1025

题目描述

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两个方案不相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1,1,5;
1,5,1;
5,1,1.

问有多少种不同的分法。

输入输出格式

输入格式：

n，k (6<n≤200，2≤k≤6)

输出格式：

1个整数，即不同的分法。

输入输出样例

输入样例#1：

7 3
输出样例#1：
4

说明

时空限制： 1000ms/128MB

四种分法为：
1,1,5;
1,2,4;
1,3,3;
2,2,3.

思路：
1、把n划分为k个，那么先从n中拿一个x，题目便变为将(n-x)分为m-1种，为了防止不会发生重复的情况，要保证每次拿的x不会比上一次拿的x要小，所以我们可以依次拿一个1出来，递推式为f[i-1][j-1]，即有1的情况；

2、没有1的情况，可以看成为j个元素预分配一个1，剩下的便没有1，即f[i-j][j]。故当i>j时便有了递推式f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]。

3、要注意当j为1时只有一种，当j为0时则不存在；当i为1或0时则不存在。


代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
int f[205][10];	
using namespace std; 
int main() 
{
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][1]=1;	//将i划分成1份肯定只有一种 
		f[i][0]=1;	//将i划分成0份肯定不存在 
	}
	for(int i=2;i<=k;i++)
	{
		f[1][i]=0;	//将1划分成i份(i>1)肯定不存在 
		f[0][i]=0;	//将0划分成i份(i>1)肯定不存在
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=2;j<=k;j++)
		{
			if(i>j)
				f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
			else	//i<=j的情况 
				f[i][j]=f[i-1][j-1];
		}
	}
	printf("%d",f[n][k]);
	return 0;
}