数学基础之代数学（1）——矩阵

数学基础之代数学（1）——矩阵

生命写在开头，这里介绍的代数学概念比较基础，如果想深入了解的同学可以自行学习线性代数（或者高等代数）和离散数学。

1、矩阵的基本概念
一个$n\times m$的矩阵是$n$行$m$列的矩形阵列，一般由数值组成，$A_{i,j}$表示矩阵$A$的第$i$行，第$j$列。比如$A=\left(\begin{array}{c}123\\ \\ 321\end{array}\right)$就是一个$2\times 3$的矩阵$A$，$A_{1,3}=3$。
注意，矩阵中有一个常见的特殊矩阵——单位矩阵$I\stackrel{def}{=}\left(\begin{array}{c}1\cdots 0\\ \\ \cdots \cdots \cdots \\ \\ 0\cdots 1\end{array}\right)$，即对角线上为$1$，其他位置上都是$0$的矩阵。

2、矩阵加（减）法
矩阵的加（减）法定义为每行每列的元素分别相加（减），因此必须保证相加（减）的矩阵规格相同，即$C=A\pm B\Rightarrow C_{i,j}=A_{i,j}\pm B_{i,j}$
$\Rightarrow C=\left(\begin{array}{c}{A}_{1,1}\pm B_{11}\cdots A_{1,m}\pm B_{1,m}\\ \\ \cdots \cdots \cdots \\ \\ A_{n,1}\pm B_{n,1}\cdots A_{n,m}\pm B_{n,m}\end{array}\right)$
注：矩阵加法满足交换律和结合律。

3、矩阵乘法
矩阵的乘法有一个非常重要的前提——一个矩阵的列数，必须等于另一个矩阵的行数。设$A$是$n\times m$的矩阵，$B$是$m\times p$的矩阵，那么$A,B$相乘得到的$C$，就是一个$n\times p$的矩阵。其中$C_{i,j}={\sum }_{k=1}^m{A}_{i,k}\times B_{k,j}$
注意这里是$A\times B$，能否进行$B\times A$还要看$n$是否等于$p$。因此，矩阵乘法一定满足分配律和结合律，但不一定满足交换律。

4、矩阵的幂
矩阵的幂本质上和单一数值的幂相同，都是自身累乘的结果，但是由于矩阵乘法的特殊性，一般我们只考虑同阶矩阵（$n\times n$）。有如下计算式：
$A^0=I$
$A^n=A^{n-1}\times A(n>0)$
注：由于矩阵满足结合律，我们在求解矩阵的幂的过程中，可以借助快速幂提速。

5、矩阵的转置
对一个矩阵进行转置处理，本质上就是将它的行和列互换，即规格为$n\times m$的矩阵$A$在转置后，就会生成规格为$m\times n$的矩阵$A^T$（注意矩阵转置的符号）。转置公式：$A_{i,j}^T=A_{j,i}$。

6、矩阵的逆
矩阵的逆也有一个非常重要的前提——只有规格为$n\times n$的矩阵才有可能存在逆。因为，逆的定义非常苛刻：设矩阵$B$是$A$的逆，那么$A,B$必须满足$A\times B=B\times A=I$。如果$B$存在，那么它一定是唯一的，一般记为$A^{-1}$。