ACWING/4262. 空调

题目

数据范围

1≤N≤10^5,
0≤p_i,t_i≤10000

输入样例：

5
1 5 3 3 4
1 2 2 2 1

输出样例：

5

样例解释

一组最优的 Farmer John 可以使用的指令如下：

初始温度     ：1 2 2 2 1
升高牛棚 2..5：1 3 3 3 2
升高牛棚 2..5：1 4 4 4 3
升高牛棚 2..5：1 5 5 5 4
降低牛棚 3..4：1 5 4 4 4
降低牛棚 3..4：1 5 3 3 4

题解

差分

差分：对于数列 a，其第 i 个元素和第 i - 1 个元素的差称为数列 a 第 i 项的差分。

有差分数组为 b，则存在：b[i] = a[i] - a[i - 1]

推导差分数组：

• 预处理：b[i] = a[i] - a[i - 1]
• 对差分数组求前缀和可以得到原数列 a ：sumb[i] = b[1] + b[2] + ... b[i] = a[1] + a[2] - a[1] + ... + a[i] - a[i - 1] = a[i]

技巧：

• O(1)时间复杂度对数组 a[l…r] 的每一个元素加上 p：差分数组操作d[l] += p, d[r+1] -= p， 则对差分数组复原a数组时候就可以得到区间内都加p

题目思路

题意可以转化为：将两个温度数组求差得到arr数组，求对区间加一或者减一的最少操作次数得到全0的数组

• 区间加减法很容易就联系到差分数组

拟求得arr数组全0，则其差分数组也一定全0 ：原因为，差分数组的实质为相邻两个数的差值，由于第一个数实际是和0做差分，则可以理解为差分数组全0 == 原数组第一个数与0的差值为0 == 原数组全为0

因此，我们每次可以从 差分数组b 中同时挑一个正数减 1，和一个负数加 1。也可以只挑一个正数减 1，或一个负数加 1

• 挑一个正数减 1，和一个负数加 1：相当于对arr数组一个区间加减1
• 只挑一个正数减 1，或一个负数加 1： 相当于对arr数组从某个位置及其后所有元素加减1

按照如此的操作方案，使得差分数组归0的操作次数为max(正数和，|负数和|)

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	int arr[n+1];
	memset(arr, 0, sizeof arr);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin>>arr[i];
	}
	// 获得每个牛栏位置的空调调整度数
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		int b;
		cin>>b;
		arr[i] -= b;
	}
	// 完成差分，从后向前遍历获取差分
	for(int i = n; i; i--){
		arr[i] -= arr[i-1];
	}
	// 要使得空调度数arr数组全0，则差分数组也应当全为0
	// 使得差分中正数位置减一，负数位置加一，则是完成一个区间[l,r]整体的减一
	// 还可以对某一个位置直接加一、减一，相当于对从该位置开始往后的所有值都加减一
	// 则要使得差分数组全变为0的次数是max(正数和，|负数和|)
	int pos = 0, neg = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		if(arr[i] > 0) pos += arr[i];
		else neg -= arr[i]; // 用减法转化为绝对值后结果
	}
	cout << max(pos,neg) << endl; 
	return 0;
}