[BZOJ 4518][Sdoi2016]征途（DP+斜率优化）

原创于 2019-08-15 17:04:07 发布 · 183 阅读

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本文介绍了一种使用斜率优化DP算法解决Pine从S地到T地旅行问题的方法，目标是最小化每天行程长度的方差。通过将方差公式转化为可优化形式，实现了对最小方差的有效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4518
题面
Pine开始了从S地到T地的征途。
从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。
Pine计划用 $m$ 天到达T地。除第 $m$ 天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。
Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。
帮助Pine求出最小方差是多少。
设方差是 $v$ ，可以证明， $v×m^2$ 是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出 $v×m^2$ 。

输入
第一行两个数 $n$ 、 $m$ 。
第二行 $n$ 个数，表示 $n$ 段路的长度。
$1 \leq n \leq 3000$ ,保证从 S 到 T 的总路程不超过 $30000$

输出
一个数，最小方差乘以 $m^2$ 后的值。

思路
斜率优化DP。~~一开始以为是单调队列优化DP结果WA了（后来发现公式推错了）~~
众所周知方差计算公式是 $∑i=1m(xi−x‾)2m\frac{\sum_{i=1}^m(x_i-\overline{x})^2}m$
设 $f [i] [j]$ 是第 $i$ 天走完第 $j$ 段路的最小可得方差乘以 $m^2$ 的值， $s u m [i]$ 为第 $1$ ~ $i$ 段路的路程之和。
那么我们可得 $f[i][j]=min{f[i−1][k]+((sum[k]−sum[j])2−x‾)2∗m2}f[i][j]=min\{f[i-1][k]+((sum[k]-sum[j])^2-\overline{x})^2*m^2\}$
考虑 $x‾=sum[n]m\overline{x}=\frac{sum[n]}m$ 那么我们可以把 $m$ 乘进去得到 $f[i][j]=min\{f[i-1][k]+(m(sum[k]-sum[j])^2-sum[n])^2\}$
展开并适当变形可得 $f[i-1][k]+m^2sum[k]^2=2m(m*sum[j]-sum[n])sum[k]-m^2sum[j]^2+2m*sum[n]*sum[j]-sum[n]^2+f[i][j]$
把 $s u m [k]$ 看做x， $f[i-1][k]+m^2sum[k]^2$ 看做y，剩下的看做截距就是一个常见的斜率优化题目了。

AC代码

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL f[3005][3005],n,m;
LL L[50005];
LL q[50005],h,t;
LL sum[50005];
LL calc(LL a,LL b,LL c)
{
    return f[b][a]+m*m*sum[a]*sum[a]-m*2*(m*sum[c]-sum[n])*sum[a];
}
int ca(LL a,LL b,LL c,LL d)
{
    LL y1=f[d][a]+m*m*(sum[a])*(sum[a]),x1=sum[a];
    LL y2=f[d][b]+m*m*(sum[b])*(sum[b]),x2=sum[b];
    LL y3=f[d][c]+m*m*(sum[c])*(sum[c]),x3=sum[c];
    return ((y2-y1)*(x3-x2))>=((y3-y2)*(x2-x1));
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(LL i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&L[i]);
    for(LL i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+L[i];
	for(LL i=1;i<=n;i++)
	{
		f[1][i]=(m*sum[i]-sum[n])*(m*sum[i]-sum[n]);
	}
	for(LL i=1;i<=m;i++)f[i][0]=f[i-1][0]+sum[n]*sum[n];
	for(LL i=2;i<=m;i++)
	{
	    h=t=0;
	    q[0]=0;q[++t]=1;f[i][1]=f[i-1][0]+(m*sum[1]-sum[n])*(m*sum[1]-sum[n]);
	    for(LL j=2;j<=n;j++)
	    {
	        while((h!=t)&&(calc(q[h],i-1,j))>calc(q[h+1],i-1,j)) h++;
   		    f[i][j]=calc(q[h],i-1,j)+m*m*sum[j]*sum[j]-m*2*sum[n]*sum[j]+sum[n]*sum[n];
   		    while((h!=t)&&ca(q[t-1],q[t],j,i-1)) t--;
    	    q[++t]=j;
    	}		
	}
    printf("%lld\n",f[m][n]/m);
    return 0;
}

用单调队列WA掉的代码及数据

#include<stdio.h>
typedef long long LL;
LL n,m;
LL dp[3005][3005];
LL queue[3005],L[3005],sum[3005];
void calc(LL now)
{
	LL h=1,t=1;queue[h]=now-1;
	for(LL i=now;i<=n-m+now;i++)
	{
		while(h!=t&&((dp[now-1][queue[h]]+(m*(sum[i]-sum[queue[h]])-sum[n])*(m*(sum[i]-sum[queue[h]])-sum[n]))>(dp[now-1][queue[h+1]]+((sum[i]-sum[queue[h+1]])*m-sum[n])*((sum[i]-sum[queue[h+1]])*m-sum[n])))) h++;
		dp[now][i]=dp[now-1][queue[h]]+((sum[i]-sum[queue[h]])*m-sum[n])*((sum[i]-sum[queue[h]])*m-sum[n]);
		queue[++t]=i;
	}
	return ;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	if(m>n)n=m;
	for(LL i=1;i<=n;i++) 
	{
		scanf("%lld",&L[i]);
		sum[i]=sum[i-1]+L[i];
	}
	for(LL i=1;i<=n-m+1;i++)
	{
		dp[1][i]=(m*sum[i]-sum[n])*(m*sum[i]-sum[n]);
	}
	for(LL i=2;i<=m;i++)
	{
		calc(i);
	}
	printf("%lld\n",dp[m][n]/m);
	return 0;
}
/*
9 7
9 48 8 25 22 29 31 38 23 
*/