两种最小生成树算法的步骤解析

写在前面

本文介绍两种最小生成树的步骤解析和代码解析，不画图，有时间补，记住步骤可以快速记住代码模板
算法的代码都是解决一道求最小生成树的权重和的题目
本文最后给出题目描述

Prim算法

Prim具体步骤：

/**
    1.初始化dist数组为+∞，此时所有的点到集合（生成树）的距离为+∞ // 因为此时生成树为空
    2.把距离集合最短的点加入到集合（生成树）中 // 第一次选取时，由于所有点到集合的距离均为+∞，所以任选，我们通常选取1号点
    3.用 选取的点 更新与 该点相邻的点 到 集合（生成树）的最小距离
    4.重复2、3直至遍历完所有点
    注：（第三点的较易理解版本）
    （1）找到所有集合中与该点有连线的边
    （2）选择其中边权最小的边
    （3）把并保存到dist数组中 
    ---第三点较难理解需要仔细体会
**/

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N];
int d[N]; // 当前在连通块中所有的点
bool st[N]; // 表示该点是否被访问

int prim()
{
     memset(d, 0x3f, sizeof d);
     
     int res = 0;
     for (int i = 0; i < n; i ++)
     {
        int t = -1;
        // 找到权值最小的边
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            if (!st[j] && (t == -1 || d[t] > d[j]))
                t = j;
        /** 
            如果第一轮中（i == 0时）如果返回的是d[t] = +∞，
            则当i != 0时，同样也会d[t] = +∞，也就是扫描了两遍距离都是+∞，
            说明此时图不连通，直接返回+∞ 
        **/
        if (i && d[t] == INF) return INF;
        // 找到了 i == 0，我们遍历从dist[1]开始，而dist[0]初始化是INF故需要排除这种情况
        if (i) res += d[t]; 
        // 用最小边更新，其他边到集合的距离
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            d[j] = min(d[j], g[t][j]);
        
        st[t] = true;
     }
     return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    while (m --)
    {
        int a, b ,c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }
    
    int t = prim();
    
    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);
}

Kruskal

kruskal具体步骤

/**
    1.按所有边权重，重小到大排序 // 本步骤是kruskal算法的瓶颈 O(mlogm)
    2.构建一个包含原来所有的点而不包含任何边的的无向图
    3.按权值从小到大枚举每条边(a, b)权重为c，如果a, b不连通则将该边加入到集合中
    
    得到的结果为最小生成树
**/

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 200010;

int n, m;
int p[N];

// 用结构体存储边
struct Edge
{
    int a, b, w;
    
    bool operator< (const Edge &W)
    {
        return w < W.w;
    }
    
}edge[N];

// 并查集：判断某个点属于哪个集合
int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    // 读入边
    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        
        edge[i].a = a, edge[i].b = b, edge[i].w = w;
    }
    
    // 并查集初始化
    for (int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;
    
    // 按权值从小到大排序
    sort(edge, edge + m);
    
    // 构建最小生成树
    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a = edge[i].a, b = edge[i].b, w = edge[i].w;
        a = find(a), b = find(b); // 查找a,b分别属于哪个集合
        
        if (a != b) // a,b不在一个集合中
        {
            p[a] = b; // 把a,b加入同一个集合中
            res += edge[i].w; // 累加边权
            cnt ++;
        }
    }
    
    if (cnt < n - 1) puts("impossible"); // 边数过少，则不存在最小生成树
    else printf("%d\n", res);
    
    return 0;
}

题目描述

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为$ w$ 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

$1\le n\le 10^5$,
$1\le m\le 2\times 10^5$,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $1000$。