算法刷题总结—最小生成树算法

 最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法，稠密图一般使用朴素班Prim算法，稀疏图使用Kruskal算法，下面分别介绍这两种方法

1.普利姆算法（Prim）

算法思想

Prim算法维护一个集和s，首先将任意一个点（一般默认第一个节点）加入s，然后每次从未加入s的节点中寻找距离集和s最近的点加入集和s，直至所有点全加入s

一个点到集和s的距离=这个点与集和s中所有点之间构成的边的最小值

算法伪代码如下：

for 1→n  （节点数）：

        选择当前距离集和s最近的节点加入集和s

        更新该点的状态

        利用该点更新其他点到集和s的距离

下面看一道Prim算法求最小生成树的例题

问题描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤500,
1≤m≤10^5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。

输入样例

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例

6

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, INT = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];   //维护每个点到集和的距离
bool st[N];

int Prim(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j ++){
            //寻找当前到集和中的最小点
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
                t = j;   
        }
        if(dist[t] == INT) return INT;    //存在没有与集和内的点连通的点
        res += dist[t];   
        st[t] = true;   //加入结果集和
        //利用新加入的点更新其他所有点到集和的距离
        //不用对j = t特判, 因为t已经加入到集和中, 无影响
        for(int j = 1; j <= n; j ++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);  
    }
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    for(int i = 0; i < m; i ++){
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        g[u][v] = g[v][u] = min(g[u][v], w);
    }
    int res = Prim();
    if(res == INT) cout << "impossible" << endl;
    else cout << res << endl;
    return 0;
}

说明

dist数组表示每个结点到集和的距离，st数组记录每个结点是否已在集和中，在迭代过程中，若出现最小的dist值为正无穷，则代表存在没有与集合内的点联通的点，即不存在最小生成树

稠密图采用邻接矩阵存储，同时因为可能有重边，两个点之间仅保留距离最短的边即可

2.Kruskal算法

算法思想

首先对所有边按照从小到大进行排序，假设现在所有点之间均未连接，按照边的大小从小到大的顺序依次遍历，若这个边对应的两个点还未连通，则加入该边，直至所有点都加入到最小生成树中

因为涉及到判断两个点是否连通，以及合并两个点所在的连通块的操作，可以采用并查集的思想，并查集可以在近乎O（1）的时间内实现集和合并与判断两个点是否在同一集和

下面看一道Kruskal算法求最小生成树的例子

问题描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤10^5,
1≤m≤2∗10^5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。

输入样例

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例

6

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int p[N];
int res = 0, cnt = 0;  //res表示最小生成树权重和, cnt表示最小生成树中边的数量

struct Edge{
    int a, b, w;
    bool operator<(const Edge& t) const{
        return w < t.w;
    }
}Edges[2 * N];

int find(int x){
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void kruskal(){
    //从小到大遍历每条边, 将符合要求的边加入集和
    for(int i = 0; i < m; i ++){
        int a = Edges[i].a, b = Edges[i].b;
        if(find(a) != find(b)){   //若此时a, b还未连通
            res += Edges[i].w;
            cnt ++;
            p[find(a)] = find(b);  //合并a, b集和
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;
    for(int i = 0; i < m; i ++){
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        Edges[i] = {u, v, w};
    }
    sort(Edges, Edges + m);
    kruskal();
    if(cnt < n - 1) cout << "impossible" << endl;
    else cout << res << endl;
    return 0;
}

说明：

当涉及到对每条边的操作时，可直接采用结构体存储图的信息

维护一个额外的cnt，记录最小生成树中边的数量，如最后边的数量小于n - 1，则存在未连通的节点，不存在最小生成树