前缀和模板

前缀和：用来快速求区间的和

输入一个长度为n的整数序列。

接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。

对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

我们如果每次都把l到r区间的数加起来，那么在数据最大的情况下，时间复杂度就达到了O(1e10+)，这样我们显然是不能接受的
这时候就用到的前缀和思想

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我们定义一个数组a用来存放输入的元素，然后再定义一个数组存放前i个元素的和(包括第i个元素)，那么，如果我们求l到r区间的和，我们直接求s[r]-s[l-1]就可以，这样表示前r个元素的和减去前l-1个元素的和，这样就得到闭区间l到r的和，这样的时间复杂度是O(m+n)

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#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int a[N],n,q;
int main()
{
    int l,r;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),a[i]+=a[i-1];
    while(q--)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",a[r]-a[l-1]);
    }
    return 0;
}

一维的比较简单，二维的也话也是同样的思想，只不过是需要考虑的周到一些
子矩阵和

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假定我们要求(i-1,j-1)到(i,j)围城矩阵的和，那么我们求出(0,0)到(i,j)的面积，然后减去除蓝色区域的面积即可，重点来了！！！
我们不可能分别求红色、浅蓝色、绿色三块的和，因为浅蓝色和绿色的和不好求，但是利用前缀和红色的和基本就是已知的，那么我们直接求红色+浅蓝色的和、红色+绿色的和即可，然后再减去多计算一次的红色的面积即可(容斥原理)，这样的话时间复杂度为O(n*m+q)

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#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e3+5;
int a[N][N],n,m,q,s[N][N];
int main()
{
    int x1,y1,x2,y2;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]),s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]+a[i][j]-s[i-1][j-1];
    while(q--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}