最优化与线性化

最优化问题：一般方法

1. 确定所有变量
2. 确定变量的取值范围
3. 列出关联变量的方程
4. 消去其余变量只保留想要最大化或最小化的变量Q
5. 对Q求导找出临界点，临界点为导数为0或者不存在的点。
6. 求出Q在临界点以及端点的值，比较大小选出最大值和最小值。列出一阶和二阶导表格进行检验。
7. 得出结论
   （实际上，第四步可能会有困难但有时可以通过隐函数求导避开麻烦）

线性化问题：一般方法

估算或近似一个难搞定的数的基本策略。

1. 主要公式：
   $$f(x)\approx L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$$

2. 选择一个函数f以及一个数x，使得这个难搞定的数等于f(x)。另外选取一个接近于x的数a，并使得f(a)可以容易求得。

3. 对f求导，求出$f^{\prime }(x)$.

4. 在上述方框公式中用实际的函数分别代替f和$f^{\prime }$,用你选定的实际数值代替a。

5. 最后，把第二步中的x值代入公式加以计算，另外注意到微分df等于量$f^{\prime }(x)(x-a)$。
   
   误差$$r(x)=f(x)-L(x)$$
   根据中值定理可得：
   

牛顿法

假设a是对方程f(x)=0的解的一个近似，如果令：
$$b=a-\frac{f(a)}{f^{\prime }(a)}$$
则在很多情况下b是个比a更好的近似。

以上来自对普林斯顿微积分读本第十三章最优化和线性化的总结。