数论模板-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44410512/article/details/102618454

本文深入探讨了数学算法的核心概念，包括最大公约数(GCD)，扩展欧几里得算法(ECGCD)，最小公倍数(LCM)，卡特兰数的计算，埃氏筛与欧拉筛的实现，以及通过试除法和Miller-Rabin测试素数的方法。同时，文章介绍了如何使用欧拉公式求解与n互质的数的数量，以及利用卢卡斯定理和费马小定理快速计算组合数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

gcd+ecgcd+lcm

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
  return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int exgcd(int a,int b,int &x, int &y){
  if(b==0){ x=1,y=0;return a;}
  int t=exgcd(b,a%b,x,y);
  int x0=x,y0=y;
  x=y0,y=x0-(a/b)*y0;
  return t;
}
int lcm(int a,int b){
    return a*b/gcd(a,b);
}

Inv （乘法逆元）

(a/b)%MOD=(a*inv(b,MOD))%MOD
-----------------------------------------------
#define ll long long
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(a%b==0){
        x=0ll;y=1ll;
        return b;
    }
    ll v,tx,ty;
    v=exgcd(b,a%b,tx,ty);
    x=ty;
    y=tx-a/b*ty;
    return v;
}

ll inv(ll a,ll p){
    if(!a) return 0ll;
    ll x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    x=(x%p+p)%p;
    return x;
}
----------------------------------------------------------
ll quick_pow(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll inv(ll x,ll mod){
    return quick_pow(x,mod-2,mod);
}
---------------------------------------------------------

卡特兰数

/*1
  2
  5
  14
  42
  132
  429
  1430
  4862
  16796
  58786
  208012
  742900
  2674440
  9694845
  35357670
  129644790
  477638700
  1767263190
  6564120420
  24466267020
  91482563640
  343059613650
  1289904147324
  4861946401452
  18367353072152
  69533550916004
  263747951750360
  1002242216651368
  3814986502092304
  14544636039226909
  55534064877048198
  212336130412243110
  812944042149730764
  3116285494907301262
  11959798385860453492
  45950804324621742364
  176733862787006701400
  680425371729975800390
  2622127042276492108820
  10113918591637898134020
  39044429911904443959240
  150853479205085351660700
  583300119592996693088040
  2257117854077248073253720
  8740328711533173390046320
  33868773757191046886429490
  131327898242169365477991900
  509552245179617138054608572
  1978261657756160653623774456
  7684785670514316385230816156
  29869166945772625950142417512
  116157871455782434250553845880
  451959718027953471447609509424
  1759414616608818870992479875972
  6852456927844873497549658464312
  26700952856774851904245220912664
  104088460289122304033498318812080
  405944995127576985730643443367112
  1583850964596120042686772779038896
  6182127958584855650487080847216336
  24139737743045626825711458546273312
  94295850558771979787935384946380125
  368479169875816659479009042713546950
  1440418573150919668872489894243865350
  5632681584560312734993915705849145100
  22033725021956517463358552614056949950
  86218923998960285726185640663701108500
  337485502510215975556783793455058624700
  1321422108420282270489942177190229544600
  5175569924646105559418940193995065716350
  20276890389709399862928998568254641025700
  79463489365077377841208237632349268884500
  311496878311103321137536291518809134027240
  1221395654430378811828760722007962130791020
  4790408930363303911328386208394864461024520
  18793142726809884575211361279087545193250040
  73745243611532458459690151854647329239335600
  289450081175264899454283846029490767264392230
  1136359577947336271931632877004667456667613940
  4462290049988320482463241297506133183499654740
  17526585015616776834735140517915655636396234280
  68854441132780194707888052034668647142985206100
  270557451039395118028642463289168566420671280440
  1063353702922273835973036658043476458723103404520
  4180080073556524734514695828170907458428751314320
  16435314834665426797069144960762886143367590394940
  64633260585762914370496637486146181462681535261000
  254224158304000796523953440778841647086547372026600
  1000134600800354781929399250536541864362461089950800
  3935312233584004685417853572763349509774031680023800
  15487357822491889407128326963778343232013931127835600
  60960876535340415751462563580829648891969728907438000
  239993345518077005168915776623476723006280827488229600
  944973797977428207852605870454939596837230758234904050
  3721443204405954385563870541379246659709506697378694300
  14657929356129575437016877846657032761712954950899755100
  57743358069601357782187700608042856334020731624756611000
  227508830794229349661819540395688853956041682601541047340
  896519947090131496687170070074100632420837521538745909320
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[110][1000];
int b[1000];
void catalan(){
  a[1][0]=1;
  b[1]=1;
  int len=1;
  for(int i=2;i<=100;i++){
    for(int j=0;j<len;j++)
      a[i][j]=a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
    int carry=0,temp=0;
    for(int j=0;j<len;j++){
      temp=a[i][j]+carry;
      a[i][j]=temp%10;
      carry=temp/10;
    }
    while(carry){
      a[i][len++]=carry%10;
      carry/=10;
    }
    carry=0;
    for(int j=len-1;j>=0;j--){
      temp=carry*10+a[i][j];
      a[i][j]=temp/(i+1);
      carry=temp%(i+1);
    }
    while(!a[i][len-1]) len--;
    b[i]=len;
  }
}
int main(){
  catalan();
  int n;
  while(cin>>n){
    for(int i=b[n]-1;i>=0;i--){
      cout<<a[n][i];
    }
    cout<<endl;
  }
  return 0;
}

埃氏筛欧拉筛

#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define maxn 10000010
using namespace std;
bool u[maxn];
int su[maxn];
int num=1;
void Es(int n){
  int i,j;
  memset(u,true,sizeof(u));
  for(i=2;i<n;i++){
    if(u[i]) su[num++]=i;
    for(j=1;j<num;j++){
      if(i*su[j]>n) break;
      u[i*su[j]]=false;
      if(i%su[j]==0) break;
    }
  }
}
void Is(int n){
  memset(u,true,sizeof(u));
  for(int i=2;i<n;i++){
    if(u[i]){
      su[num++]=i;
      for(int j=i+i;j<n;j+=i){
        u[j]=false;
      }
    }
  }
}

筛选法+试除法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 11000
bool u[maxn];
int su[maxn];
int a[maxn];
long long s[maxn];
int num=1;
void Es(int n){
  int i,j;
  memset(u,true,sizeof(u));
  for(i=2;i<n;i++){
    if(u[i]) su[num++]=i;
    for(j=1;j<num;j++){
      if(i*su[j]>n) break;
      u[i*su[j]]=false;
      if(i%su[j]==0) break;
    }
  }
}
bool pri(long long n){
  if(n<10000){
    return u[n];
  }else{
    for(int i=1;i<num;i++){
      if(n%su[i]==0) return false;
    }
    return true;
  }
}

Miller_Rabin素性测试

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int prime[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
typedef long long ll;
ll pow(ll x,ll n,ll mod){//快速幂
    ll res=1;
	while(n>0){
	   if(n%2==1){
	   	 res=res*x;
	   	 res=res%mod;
	   }
	   x=x*x;
	   x=x%mod;
	   n>>=1;
	}
	return res;
}
ll mulit(ll a,ll b,ll c){//龟速乘
    ll ans=0;
    ll res=a;
    while(b){
      if(b&1)
        ans=(ans+res)%c;
      res=(res+res)%c;
      b>>=1;
    }
    return ans;
}
bool Miller_Rabin(int x)     //判断素数
{
    int i,j,k;
    int s=0,t=x-1;
    if(x==2)  return true;   //2是素数
    if(x<2||!(x&1))  return false;     //如果x是偶数或者是0,1，那它不是素数
    while(!(t&1))  //将x分解成(2^s)*t的样子
    {
        s++;
        t>>=1;
    }
    for(i=0;i<10&&prime[i]<x;++i)      //随便选一个素数进行测试
    {
        int a=prime[i];
        int b=pow(a,t,x);      //先算出a^t
        for(j=1;j<=s;++j)    //然后进行s次平方
        {
            k=mulit(b,b,x);   //求b的平方
            if(k==1&&b!=1&&b!=x-1)     //用二次探测判断
              return false;
            b=k;
        }
        if(b!=1)  return false;   //用费马小定律判断
    }
    return true;   //如果进行多次测试都是对的，那么x就很有可能是素数
}
int main()
{
    int x;
    scanf("%d",&x);
    if(Miller_Rabin(x))  printf("Yes");
    else  printf("No");
    return 0;
}

欧拉公式

inline ll phi(ll n) {
    if (n == 1) return 1;
    ll ans = n, m = sqrt(n);
    for (register ll i = 2; i <= m; i++)
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    if 	(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}

卢卡斯定理求组合数

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[N];
int p;
ll pow(ll y,int z,int p){
    y%=p;ll ans=1;
    for(int i=z;i;i>>=1,y=y*y%p)if(i&1)ans=ans*y%p;
    return ans;
}
ll C(ll n,ll m){
    if(m>n)return 0;
    return ((a[n]*pow(a[m],p-2,p))%p*pow(a[n-m],p-2,p)%p);
}
ll Lucas(ll n,ll m){
    if(!m)return 1;
    return C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;
}
inline int read(){
    int f=1,x=0;char ch;
    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');
    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9');
    return f*x;
}
int main(){//C(n+m,n)
    int T=read();
    while(T--){
        int n=read(),m=read();p=read();
        a[0]=1;
        for(int i=1;i<=p;i++)a[i]=(a[i-1]*i)%p;
        cout<<Lucas(n+m,n)<<endl;
    }
}

费马小定理+快速幂求组合数

#include <bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
typedef long long LL;
const int maxn = 100000 + 10;
LL fac[maxn];//乘阶表
LL power(LL a,LL b){//快速幂
    a%=mod;
    LL ans = 1;
    while(b){
        if(b&1)ans = (ans*a)%mod;
        b>>=1;
        a = (a*a)%mod;
    }
    return ans;
}
LL inv(LL a){//返回逆元（费马小定理）
    return power(a,mod-2)%mod;
}
void solve(){//计算乘阶表
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1;i<=maxn-1;i++){
        fac[i] = (fac[i-1]*i)%mod;
    }
}
LL comb(int n,int k){//返回组合数（组合数公式）
    if(k>n)return 0;
    return (fac[n]*inv(fac[k])%mod*inv(fac[n-k])%mod)%mod;
}
int main()
{
    solve();
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){
        printf("%lld\n",comb(n,k));
    }
    return 0;
}

欧拉函数求与n互质的个数

#include <cstdio>
int oula(int n){
    int ou=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){//n/2是最大的因子
        if(n%i==0){
            ou-=ou/i;//欧拉函数 φ(n)
            while(n%i==0){//除去非质数的因子
                    n=n/i;
            }
        }
    }
    if(n>1){//剩余的n可能也是质因子
        return ou-=ou/n;
    }
    return ou;
}
int main() {
    int n;
    while(~scanf("%d", &n)&&n){
        printf("%d\n", oula(n));
    }
    return 0;
}