20221012 泊松公式

基本设定：

设本体坐标系 $\mathcal{D}$ 为动坐标系，惯性坐标系 $\mathcal{S}$ 为静坐标系。

设本体坐标系 $\mathcal{D}$ 的 $x$、$y$、$z$ 轴上的单位矢量分别为 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$，要描述这三个矢量，需要投影在某种坐标系上才行。当其投影在惯性坐标系 $\mathcal{S}$ 上，则数学表示为 ${\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}$、${\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}$、${\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}$。

设在某一给定时刻，旋转角速度矢量为 $\mathbf{\omega }$，同样投影在惯性坐标系 $\mathcal{S}$ 上，表示为 ${\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}$，具体含义为 $\mathcal{D}$ 相对于 $\mathcal{S}$ 的角速度矢量在 $\mathcal{S}$ 的投影。

设 $\mathbf{i}$ 的端点为 $A$，$\mathbf{j}$ 的端点为 $B$，$\mathbf{k}$ 的端点为 $C$。

分析过程：

点 $A$ 的线速度为 $${\mathbf{v}}_A^{\mathcal{S}}=\frac{\text{d}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}$$

又有$${\mathbf{v}}_A^{\mathcal{S}}={\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}\times {\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}$$

因此可知 $$\frac{\text{d}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}={\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}\times {\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}$$

同时，有 $$\frac{\text{d}{\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}={\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}\times {\mathbf{j}}^{\mathcal{S}},\frac{\text{d}{\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}={\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}\times {\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}$$

这就是泊松公式。

可以证明，惯性坐标系随便选择，泊松公式均成立。

实例：

给定
$${\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}=[\cos (\frac{\pi }{2}t),\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (\frac{\pi }{2}t),\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (\frac{\pi }{2}t){]}^T$$相应的角速度矢量是红线 $${\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}=[0,-\frac{\pi }{2\sqrt{2}},\frac{\pi }{2\sqrt{2}}{]}^T$$可以得到 $$\frac{\text{d}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}=[-\frac{\pi }{2}\sin (\frac{\pi }{2}t),\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\pi }{2}\cos (\frac{\pi }{2}t),\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\pi }{2}\cos (\frac{\pi }{2}t){]}^T$$以及$${\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}\times {\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}=\left[\begin{array}{ccc}0& -\frac{\pi }{2\sqrt{2}}& -\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\\ \frac{\pi }{2\sqrt{2}}& 0& 0\\ \frac{\pi }{2\sqrt{2}}& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos (\frac{\pi }{2}t)\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin (\frac{\pi }{2}t)\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin (\frac{\pi }{2}t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{\pi }{2}\sin (\frac{\pi }{2}t)\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\pi }{2}\cos (\frac{\pi }{2}t)\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\pi }{2}\cos (\frac{\pi }{2}t)\end{array}\right]=\frac{\text{d}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}$$

需要说明的是，上述的 ${\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}$ 和 ${\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}$ 都是投影在静坐标系上。

另外，假设有从 $\mathcal{S}$ 到 $\mathcal{D}$ 的旋转矩阵为 ${\mathbf{R}}_{{}_{\mathcal{D}\mathcal{S}}}$，即有
$${\mathbf{\omega }}^{\mathcal{D}}={\mathbf{R}}_{{}_{\mathcal{D}\mathcal{S}}}{\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}$$$${\mathbf{i}}^{\mathcal{D}}={\mathbf{R}}_{{}_{\mathcal{D}\mathcal{S}}}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}$$$${\mathbf{j}}^{\mathcal{D}}={\mathbf{R}}_{{}_{\mathcal{D}\mathcal{S}}}{\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}$$$${\mathbf{k}}^{\mathcal{D}}={\mathbf{R}}_{{}_{\mathcal{D}\mathcal{S}}}{\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}$$那么
$$({\mathbf{R}}_{{}_{\mathcal{D}\mathcal{S}}}{\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}})\times ({\mathbf{R}}_{{}_{\mathcal{D}\mathcal{S}}}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}})={\mathbf{R}}_{{}_{\mathcal{D}\mathcal{S}}}\frac{\text{d}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}\ne \frac{\text{d}{\mathbf{i}}^{\mathcal{D}}}{\text{d}t}$$

千万要注意：

$\mathbf{\omega }$ 和 $\mathbf{i}$ 也投影到本体坐标系之后，叉乘出来的矢量，是 $\mathbf{\omega }$ 和 $\mathbf{i}$ 投影在惯性系的叉乘的矢量再投影到本体系的结果，而不是直接对 ${\mathbf{i}}^{\mathcal{D}}$求导。

注：

注：图片来自https://baike.baidu.com/pic/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%85%AC%E5%BC%8F/53690428/1/960a304e251f95cad1c8f2d68344683e6709c93df40a?

推导过程参考 《理论力学》支希哲