归并排序

归并排序

​ 归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

需求：

排序前：{8,4,5,7,1,3,6,2}

排序后：{1,2,3,4,5,6,7,8}

排序原理：

1.尽可能的一组数据拆分成两个元素相等的子组，并对每一个子组继续拆分，直到拆分后的每个子组的元素个数是1为止。

2.将相邻的两个子组进行合并成一个有序的大组；

3.不断的重复步骤2，直到最终只有一个组为止。

归并排序API设计：

类名	Merge
构造方法	Merge()：创建Merge对象
成员方法	1.public static void sort(Comparable[] a)：对数组内的元素进行排序 2.private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi)：对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序 3.private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi):从索引lo到所以mid为一个子组，从索引mid+1到索引hi为另一个子组，把数组a中的这两个子组的数据合并成一个有序的大组（从索引lo到索引hi） 4.private static boolean less(Comparable v,Comparable w):判断v是否小于w 5.private static void exch(Comparable[] a,int i,int j)：交换a数组中，索引i和索引j处的值
成员属性	1.private static Comparable[] assist：完成归并操作需要的辅助数组

归并原理：

归并排序代码实现：

/**
 * 归并排序
 */
public class Merge {

    // 归并需要的辅助数组
    private static Comparable[] assist;

    // 对数组a中的元素进行排序
    public static void sort(Comparable[] a) {
        // 1.初始化辅助数组assist
        assist = new Comparable[a.length];
        // 2.定义一个lo变量，和hi变量，分别记录数组中最小的索引，和最大的索引
        int lo = 0;
        int hi = a.length - 1;
        // 3.调用sort重载方法，完成数组a，从索引lo到索引hi的元素的排序
        sort(a, lo, hi);
    }

    // 对数组a中从lo到hi的元素进行排序
    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        // 安全性校验
        if (lo >= hi) {
            return;
        }
        // 分：对lo到hi之间的数据进行分组，分为两组（尽可能分为两个数组）
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        // 治：分别对每一组数据进行排序
        sort(a, lo, mid);
        sort(a, mid + 1, hi);
        // 再把排序后的两组数据进行归并
        merge(a, lo, mid, hi);
    }

    // 对数组a中，从lo到mid为一组，从mid+1到hi为一组，对这两组数据进行归并
    private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
        // lo到mid这组数据，和mid+1到hi这组数据，归并到辅助数组assist对应的索引处
        // 1.定义三个指针
        int i = lo;  // 定义一个指针i，指向assist辅助数组的lo索引所的位置处
        int p1 = lo;  // 定义一个指针p1，指向a数组lo到hi中左子组的起始位置
        int p2 = mid + 1;  // 定义一个指针p2，指向数组a中lo到hi中右子组的起始位置

        // 2.遍历这两个子组，移动指针p1与p2，比较对应索引位置的值，放到辅助数组assist对应的位置
        while (p1 <= mid && p2 <= hi) {
            if (less(a[p1], a[p2])) { // a[p1]<a[p2]
                assist[i++] = a[p1++];
            } else { // a[p1]>a[p2]
                assist[i++] = a[p2++];
            }
        }
        // 3.将这两个子组中，剩余的元素，放入辅助数组assist对应的位置上
        // 3.1剩余的若是左子组
        while (p1 <= mid) {
            assist[i++] = a[p1++];
        }
        // 3.2剩余的若是右子组
        while (p2 <= hi) {
            assist[i++] = a[p2++];
        }
        // 4.将辅助数组assist中lo到hi排好序的元素，拷贝到a数组中
        for (int index = lo; index <= hi; index++) {
            a[index] = assist[index];
        }
    }

    // 判断v是否小于w
    private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) < 0;
    }

    // 交换a数组中，索引i和索引j处的值
    private static void exchange(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
}

归并排序时间复杂度分析：

​ 归并排序是分治思想的最典型的例子，上面的算法中，对a[lo…hi]进行排序，先将它分为a[lo…mid]和a[mid+1…hi]两部分，分别通过递归调用将他们单独排序，最后将有序的子数组归并为最终的排序结果。该递归的出口在于如果一个数组不能再被分为两个子数组，那么就会执行merge进行归并，在归并的时候判断元素的大小进行排序。

​ 用树状图来描述归并，如果一个数组有8个元素，那么它将每次除以2找最小的子数组，共拆log8次，值为3，所以树共有3层,那么自顶向下第k层有2^{k个子数组，每个数组的长度为2}(3-k)，归并最多需要2^(3-k)次比较。因此每层的比较次数为 2^k * 2^(3-k)=23,那么3层总共为 3x2^{3。假设元素的个数为n，那么使用归并排序拆分的次数为log2(n),所以共log2(n)层，那么使用log2(n)替换上面3x2}3中 的3这个层数，最终得出的归并排序的时间复杂度为：log2(n)* 2^(log2(n))=log2(n)*n,根据大O推导法则，忽略底数，最终归并排序的时间复杂度为O(nlogn);

归并排序的缺点：

需要申请额外的数组空间，导致空间复杂度提升，是典型的以空间换时间的操作。

希尔排序和归并排序在处理大批量数据时差别不是很大。