学习随笔#14 一个MPC详细建模的例子

状态空间离散形态的一般表达形式为
$$\mathbf{x}(k+1)=\mathbf{A}\mathbf{x}(k)+\mathbf{B}\mathbf{u}(k)$$
公式中的矩阵大小及意义如下：

变量名	大小	意义
$\mathbf{x}(k+1)$	$n\times 1$	$k+1$时刻系统的状态变量
$\mathbf{A}$	$n\times n$	系统的状态矩阵
$\mathbf{x}(k)$	$n\times 1$	$k$时刻系统的状态变量
$\mathbf{B}$	$n\times p$	系统的输入矩阵
$\mathbf{u}(k)$	$p\times 1$	$k$时刻系统的输入变量

例如：
$$\frac{\left[\begin{array}{c}{x}_1(k+1)\\ x_2(k+1)\end{array}\right]=}{x(k+1)}\frac{\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 2\end{array}\right]}{A}\frac{\left[\begin{array}{c}{x}_1(k)\\ x_2(k)\end{array}\right]+}{\mathrm{x}(\mathrm{k})}\frac{\left[\begin{array}{c}0\\ 0.5\end{array}\right]}{B}\frac{u(k)}{u(k)}$$
对于之前提出的矩阵，$\mathbf{X}(k)$、$\mathbf{U}(k)$、$\mathbf{M}$、$\mathbf{C}$的大小分别为：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{X}}_k=& \left[\begin{array}{c}x(k|k)\\ x(k+1|k)\\ x(k+2|k)\\ ⋮\\ x(k+N|k)\end{array}\right]，(N+1)n\times 1\\ {\mathbf{U}}_k=& \left[\begin{array}{c}u(k|k)\\ u(k+1|k)\\ u(k+2|k)\\ ⋮\\ u(k+N-1|k)\end{array}\right]，Np\times 1\\ \mathbf{M}=& \left[\begin{array}{c}{I}_{n\times n}\\ A_{n\times n}\\ A^2\\ ⋮\\ A^N\end{array}\right]，(N+1)n\times n\\ \mathbf{C}=& \left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \dots & 0\\ B& 0& 0& \dots & 0\\ AB& B& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A^{N-1}B& A^{N-2}B& A^{N-3}B& \dots & B\end{array}\right]，(N+1)n\times Np\end{array}$$
通过上述计算，可以从矩阵秩的角度证明下式成立。
$$\mathbf{X}(k)=\mathbf{M}\mathbf{x}(k)+\mathbf{C}\mathbf{U}(k)$$
下面我们以上面的状态空间为例，进行建模，取
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 2\end{array}\right]，\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.5\end{array}\right]，N=3$$
则
$$\begin{gathered} \mathbf{X}(k)=\left[\begin{array}{c}\mathbf{x}(k|k)\\ \mathbf{x}(k+1|k)\\ \mathbf{x}(k+2|k)\\ \mathbf{x}(k+3|k)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1(k|k)\\ x_2(k|k)\\ x_1(k+1|k)\\ x_2(k+1|k)\\ x_1(k+2|k)\\ x_2(k+2|k)\\ x_1(k+3|k)\\ x_2(k+3|k)\end{array}\right] \\ \mathbf{U}(k)=\left[\begin{array}{c}\mathbf{u}(k|k)\\ \mathbf{u}(k+1|k)\\ \mathbf{u}(k+2|k)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}u(k|k)\\ u(k+1|k)\\ u(k+2|k)\end{array}\right] \\ \mathbf{M}=\left[\begin{array}{c}{I}_{n\times n}\\ A_{n\times n}\\ A^2\\ ⋮\\ A^N\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 0.1\\ 0& 2\\ 1& 0.3\\ 0& 4\\ 1& 0.7\\ 0& 8\end{array}\right] \\ \mathbf{C}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 0\\ B& 0& 0& \dots & 0\\ AB& B& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A^{N-1}B& A^{N-2}B& A^{N-3}B& \dots & B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0.5& 0& 0\\ 0.05& 0.5& 0\\ 1& 0& 0\\ 0.15& 0.05& 0\\ 2& 1& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$
代价函数为
$$J=\sum _{i=0}^{N-1}[\mathbf{x}(k{)}^T\mathbf{G}\mathbf{x}(k)+\mathbf{U}(k{)}^T\mathbf{H}\mathbf{U}(k)+2\mathbf{x}(k{)}^T\mathbf{E}\mathbf{U}(k)]$$
$$\mathbf{G}={\mathbf{M}}^T\overline{\mathbf{Q}}\mathbf{M}，\mathbf{E}={\mathbf{C}}^{\mathbf{T}}\overline{\mathbf{Q}}\mathbf{M}，\mathbf{H}={\mathbf{C}}^T\overline{\mathbf{Q}}\mathbf{C}+\overline{\mathbf{R}}$$
$$\overline{\mathbf{Q}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{Q}& \dots & \\ ⋮& \mathbf{Q}& ⋮\\ & \dots & \mathbf{F}\end{array}\right]，\overline{\mathbf{R}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{R}& \dots & \\ ⋮& \ddots & ⋮\\ & \dots & \mathbf{R}\end{array}\right]$$
  本文整理自【MPC模型预测控制器】3_一个详细的建模例子。