14. 图 - 图存储结构基础概念，分类，生成树

14. 图 - 图存储结构基础概念，分类，生成树

• 图存储结构 : 存储具有"多对多"逻辑关系数据的结构
• 图结构中将各个数据元素被称为顶点

图存储结构中，习惯上用 Vi 表示图中的顶点，且所有顶点构成的集合通常用 V 表示，如下图中顶点的集合为 V= {V1,V2,V3,V4}。

• 图的各个顶点之间的关系可为：单向或者双向，因此图存储结构可细分两种表现类型，分别为无向图（图 1）和有向图（图 2）。
  

14.1 图存储结构基础概念

1）弧头和弧尾

• 有向图中，无箭头一端的顶点通常被称为"初始点"或"弧尾"，箭头直线的顶点被称为"终端点"或"弧头"。

2）入度和出度

• 有向图中，对一个顶点 V 来说，箭头指向 V 的弧的数量为 V 的入度（InDegree，记为 ID(V)）；箭头远离 V 的弧的数量为 V 的出度（OutDegree，记为OD(V)）。

拿图 2 中的顶点 V1来说，该顶点的入度为 1，出度为 2（该顶点的度为 3）。

3）(V1,V2) 和 <V1,V2> 的区别

• 无向图中描述两顶点（V1 和 V2）之间的关系可以用 (V1,V2) 来表示，(V1,V2) 还可以用来表示无向图中连接 V1 和 V2 的线，又称为边；
• 有向图中描述从 V1 到 V2 的"单向"关系用 <V1,V2> 来表示，<V1,V2> 也可用来表示有向图中从 V1 到 V2 带方向的线，又称为弧。

4）集合 VR 的含义

• 图中用 VR 表示图中所有顶点之间关系的集合。

例如，图 1 中无向图的集合 VR = { (v1,v2), (v1,v4), (v1,v3), (v3,v4) }；
图 2 中有向图的集合 VR = { <v1,v2>, <v1,v3>, <v3,v4>, <v4,v1> }。

5）路径和回路

• 无论是无向图还是有向图，从一个顶点到另一顶点途径的所有顶点组成的序列（包含这两个顶点），称为一条路径。
• 若路径中第一个顶点和最后一个顶点相同，则此路径称为"回路"（"环"）。
• 若路径中各顶点都不重复，此路径又被称为"简单路径"；同样，若回路中的顶点互不重复，此回路被称为"简单回路"（或简单环）。

拿图 1 来说，从 V1 存在一条路径还可以回到 V1，此路径为{V1, V3, V4, V1}，这是一个回路（环），而且还是一个简单回路（简单环）。

• 有向图中，每条路径或回路都是有方向的。

6）权和网

• 在某些实际场景中，图中的每条边（或弧）会赋予一个实数来表示一定的含义，这种与边（或弧）相匹配的实数被称为"权"，而带权的图通常称为网。如下图就是一个网结构。
  
  子图：指的是由图中一部分顶点和边构成的图，称为原图的子图。

14.2 图存储结构分类

• 根据不同的特征，图又可分为完全图，连通图、稀疏图和稠密图：

1）完全图

• 完全图：若图中各个顶点都与除自身外的其他顶点有关系，这样的无向图称为完全图，同时，满足此条件的有向图则称为有向完全图。

• 特性 ：具有 n 个顶点的完全图，图中边的数量为 $n(n-1)/2$；而对于具有 n 个顶点的有向完全图，图中弧的数量为$n(n-1)$。

2）稀疏图和稠密图

• 定义：这两种图是相对存在的，即如果图中具有很少的边（或弧），此图就称为"稀疏图"；反之，则称此图为"稠密图"。
• 判断条件：若满足$e<nlogn$（ e 表示图中边（或弧）的数量，n 表示图中顶点的数量），则为稀疏图；反之为稠密图。

3）连通图

• 定义 ：无向图中，如果任意两个顶点之间都能够连通，则称此无向图为连通图
• 连通分量 ：若无向图不是连通图，但图中存储某个子图符合连通图的性质，则称该子图为连通分量
  

4 ）强连通图

• 定义 ：有向图中，若任意两个顶点 Vi 和 Vj，满足从 Vi 到 Vj 以及从 Vj 到 Vi 都连通，也就是都含有至少一条通路，则称此有向图为强连通图。
• 强连通分量 ：若有向图本身不是强连通图，但其包含的最大连通子图具有强连通图的性质，则称该子图为强连通分量。
  

14.3 生成树&生成森林

1）生成树

• 对连通图进行遍历，过程中所经过的边和顶点的组合可看做是一棵普通树，通常称为生成树。
• 连通图中，由于任意两顶点之间可能含有多条通路，遍历连通图的方式有多种，往往一张连通图可能有多种不同的生成树与之对应。
• 连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件：
  • 包含连通图中所有的顶点；
  • 任意两顶点之间有且仅有一条通路；
• 连通图的生成树具有这样的特征，即生成树中边的数量 = 顶点数 - 1。
  
  2）生成森林
• 非连通图可分解为多个连通分量，而每个连通分量又各自对应多个生成树（至少是 1 棵），因此与整个非连通图相对应的，是由多棵生成树组成的生成森林。
  
  

---

感谢阅读，若有不对之处，请见谅！！！

---