【2019牛客暑期多校训练营第五场G题】【subsequence 1】【DP】

最新推荐文章于 2024-08-14 23:53:53 发布

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本文详细解析了一种用于比较两个字符串子串大小的算法，通过动态规划的方式，递推计算不同状态下的子串数量，最终得出第一个字符串中有多少个子串严格大于第二个字符串。文章通过具体的代码实现，展示了算法的细节和状态转移过程。

题目链接：
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/885/G
题意：
给你长度分别为 $n, m$ 的字符串 $s 1, s 2$ ， $1\leq m \leq n\leq 3000$ ，问s1有几个子串严格大于s2.
题解：
设 $f [j] [k]$ 为当前已经选了 $j$ 个字符, k表示状态
$f [j] [0]$ 表示选 $s 1$ 中的 $j$ 个比 $s 2$ 中的 $j$ 个要小的选择个数
$f [j] [1]$ 表示选 $s 1$ 中的 $j$ 个和 $s 2$ 中的 $j$ 个相等的选择个数
$f [j] [2]$ 表示选 $s 1$ 中的 $j$ 个比 $s 2$ 中的 $j$ 个要大的选择个数
显然，我们需要的答案是， $\displaystyle\sum_{i = m}^nf[i][2]$ .
现在来看状态怎么转移：
$i$ 表示当前选到 $s 1$ 中第 $i$ 个数
① $s 1 [i] > s 2 [j + 1]$ ，
即新加入的数要比 $s 2$ 中对应位置的数大，
那么上一个状态相等的就会变大，原来就大的仍然是大于，原来小的现在还是小
$f [j + 1] [2] + = f [j] [2] + f [j] [1]$
$f [j + 1] [0] + = f [j] [0]$
② $s 1 [i] = s 2 [j + 1]$ ，一样大
那么原来怎么样现在还是怎么样
$f [j + 1] [2] + = f [j] [2]$
$f [j + 1] [1] + = f [j] [1]$
$f [j + 1] [0] + = f [j] [0]$
③ $s 1 [i] < s 2 [j + 1]$ ，同理可以得到
$f [j + 1] [0] + = f [j] [0] + f [j] [1]$
$f [j + 1] [2] + = f [j] [2]$
④如果当前已有的数个数已经超过 $m$ 了，那也是大于 $s 2$ ，如123比13大
这个时候不管原来是小于还是等于还是大于，都会归到 $f [j + 1] [2]$ ，即
$f [j + 1] [2] + = f [j] [0] + f [j] [1] + f [j] [2]$
最后需要注意的是，第一位数不能取0，没有意义。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define sz sizeof
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> Pair;
const int MAX = 3e3 + 10;
const ll mod = 998244353;

char str[MAX];
int T, n, m;
int s1[MAX], s2[MAX];
ll f[MAX][3];
//设f[j][k]为当前已经选了j个字符, k表示状态
//k=0表示小于
//k=1表示等于
//k=2表示大于
//这里是压掉一维的写法，本来是f[i][j][k]，i的意思是当前选到第i位，j和k意思不变，可以先从这个入手
int main() {
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		memset(f, 0, sz(f));
		scanf("%d%d", &n, &m);
		scanf("%s", str + 1);
		for (int i = 1; i <= n; i++)s1[i] = str[i] - '0';
		scanf("%s", str + 1);
		for (int i = 1; i <= m; i++)s2[i] = str[i] - '0';

		ll ans = 0;
		f[0][1] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {//注意这里一定要从大到小，不然会重复转移
				//之前是空的，新加入的是0就跳过
				if (j == 0 && s1[i] == 0)continue;
				if (j + 1 > m) {//当前串数比s2多
					(f[j + 1][2] += f[j][0] + f[j][1] + f[j][2]) %= mod;
				}
				else {//j + 1 <= m情况
					if (s1[i] > s2[j + 1]) {//新加入的数比s2的要大
					//相等和大于->大于，小于->小于
						(f[j + 1][2] += f[j][2] + f[j][1]) %= mod;
						(f[j + 1][0] += f[j][0]) %= mod;
					}
					else if (s1[i] == s2[j + 1]) {//相等
					//都不变
						(f[j + 1][2] += f[j][2]) %= mod;
						(f[j + 1][1] += f[j][1]) %= mod;
						(f[j + 1][0] += f[j][0]) %= mod;
					}
					else {//要小
					//相等和小于->小于，大于->大于
						(f[j + 1][0] += f[j][0] + f[j][1]) %= mod;
						(f[j + 1][2] += f[j][2]) %= mod;
					}
				}
			}
		//统计答案
		for (int j = m; j <= n; j++)
			(ans += f[j][2]) %= mod;
		cout << ans % mod << endl;
	}

	return 0;
}