【保姆级图文详解】堆、建堆、Top-K问题篇9

前言

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1、堆

1.1、相关定义与特性

定义：一种满足特定条件的完全二叉树，分为两种类型：
小顶堆（min heap）：任意节点的值<=其子节点的值。
大顶堆（max heap）：任意节点的值>=其子节点的值。

特性:
①最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
②二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
③对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。

1.2、堆常用操作

堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看，将“优先队列”和“堆”看作等价数据结构。

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);

/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));

1.3、堆实现

实现大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断进行逆转。

1.3.1、堆存储与表示

完全二叉树非常适合用数组来表示。堆是一种完全二叉树采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。
给定索引i，其左子节点的索引为2i+1，右子节点的索引为2i+2，父节点的索引为 (i-1)/2（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

索引映射公式封装成函数：

/* 获取左子节点的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

1.3.2、访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，是列表首个元素。

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
    return maxHeap.get(0);
}

1.3.3、元素入堆

堆化：给定元素val ，首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val可能大于堆中其他元素，堆成立条件可能已被破坏，需要修复从插入节点到根节点的路径上各个节点。
考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

节点总数为n，则树的高度为O(log n) 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为O(log n) ，元素入堆操作的时间复杂度为O(log n) .

/* 元素入堆 */
void push(int val) {
    // 添加节点
    maxHeap.add(val);
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

1.3.4、堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动。
操作步骤：
①交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
②交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
③从根节点开始，从顶至底执行堆化。
“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，将根节点的值与其两个子节点值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

/* 元素出堆 */
int pop() {
    // 判空处理
    if (isEmpty())
        throw new IndexOutOfBoundsException();
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(0, size() - 1);
    // 删除节点
    int val = maxHeap.remove(size() - 1);
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

1.4、堆常见应用

优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 O(log n) ，而建堆操作为O(n) ，操作高效。

堆排序：给定一组数据，用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。
获取最大的k个元素：经典的算法问题，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品。

2、建堆操作

2.1、借助入堆操作实现

首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，堆是“自上而下”构建。

设元素数量为n，每个元素的入堆操作使用O(log n) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为O(n log n) 。

2.2、通过遍历堆化实现

高效的建堆方法，分为两步：
①将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
②倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。由于倒序遍历，堆是“自下而上”构建。选择倒序遍历，保证当前节点之下子树已经是合法子堆，堆化当前节点是有效的。

说明：由于叶节点没有子节点，是天然合法的子堆，无须堆化。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，从它开始倒序遍历并执行堆化：

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

2.3、复杂度分析

假设完全二叉树的节点数量为n，则叶节点数量为 (n+1)/2，其中/为向下整除。需要堆化节点数量为(n-1)/2。
在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，最大迭代次数为二叉树高度o(log n) 。
两者相乘，建堆过程时间复杂度为o(n log n) ,估算结果并不准确，没考虑二叉树底层节点数量远多于顶层节点性质。

3、Top-k 问题

定义：给定一个长度为n的无序数组 nums ，请返回数组中最大的k个元素。

3.1、遍历选择

k轮遍历，分别在每轮中提取第1,2,3,k 大的元素，时间复杂度为O(nk)。
此方法只适用于k远小于n的情况，因为当k与n比较接近时，其时间复杂度趋向于n的平方，非常耗时。

3.2、排序

先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的k个元素，时间复杂度为O(n log n)。

3.3、堆

基于堆更加高效地解决Top-k 问题。
流程：
①初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
②先将数组的前个元素依次入堆。
③从第K+1个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
④遍历完成后，堆中保存的就是最大k个元素。

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.offer(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.peek()) {
            heap.poll();
            heap.offer(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}

复杂度分析：
总共执行n轮入堆和出堆，堆的最大长度为k，时间复杂度为O(n log k)。效率很高.
当k较小时，时间复杂度趋向O(n) ；当k较大时，时间复杂度不会超过O(n log n)。

适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，持续维护堆内的元素，从而实现最大的k个元素的动态更新。