Educational Codeforces Round 94 (Rated for Div. 2) D. Zigzags【枚举

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44258590/article/details/113621626

本文探讨了一种特定的四元组匹配问题，给出了三种不同的枚举方法来解决该问题，并提供了相应的C++代码实现。问题的核心在于找到满足特定条件的数组元素组合。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给出一个数组 $a_1, a_2 \dots a_n$ ，计算满足下列条件的元组 $(i, j, k, l)$ 的个数：

$\le i < j < k < l \le n;$
$a_i = a_k$ and $a_j = a_l;$

其中： $\le n \le 3000$ , $\le a_i \le n$ 。

思路：

由于 $\le n \le 3000$ ，因此支持 $\mathcal{O}(n^2)$ 的算法，因此我们最多可以枚举四元组中的其中两个值。
枚举方法1： 枚举每个 $j, k$ 从 $j + 1$ 开始枚举, 用两个统计数组 $c_1, c_2$ 分别维护 $j$ 的前面、 $k$ 的后面各个数字的数量，如果 $c_1[a_k] > 0$ 且 $c_2[a_j] > 0$ ，表示此时 $j$ 、 $k$ 的位置存在四元组，存在的个数为 $c1[a_k] \cdot c2[a_j]$ 。
枚举方法2： 枚举每个 $k$ , $i$ 从 $k - 2$ 开始枚举，对于统计答案的方法，很巧妙，我们先用统计数组 $c n t$ 统计出 $k$ 后面各个数字的数量，设计一个变量 $c u r$ ，初始值为 $cnt[a_{k-1}]$ ，表示 $a_{k-1}$ 这个数字与 $k$ 后面多少个数字相等，如果 $a [i]$ 与 $a [k]$ 相等，表示 $i$ 和 $k$ 之间的 $j$ 和 $k$ 后面的 $l$ 构成的二元组( $a_j = a_l$ )的数量都要被统计上，这个数量就是 $c u r$ ，因此，每次 $i$ 向左移动前， $c u r$ 要加上 $cnt[a_i]$ 。
枚举方法3： 枚举每个 $i$ , $k$ 从 $i + 2$ 开始枚举，统计答案的方法的原理与 方法2 相同，但是由于枚举方式的不同，该统计方法需要加上一步，我们用统计数据 $c 1 、 c 2$ 分别统计出 $k$ 前面、 $k$ 后面各个数字的数量，设计一个变量 $c u r$ ，初始值为 $c1[a_{i+1}]$ ，表示 $a_{i+1}$ 这个数字与 $k$ 后面多少个数字相等，如果 $a [i]$ 与 $a [k]$ 相等，表示 $i$ 和 $k$ 之间的 $j$ 和 $k$ 后面的 $l$ 构成的二元组( $a_j = a_l$ )的数量要被统计上，这个数量就是 $c u r$ ，但是因为 $k$ 每次向右移动，即 $c 1 、 c 2$ 是一直变化的，因此 $k$ 移动后将 $c 2$ 中 $a_k$ 的数量减去 $1$ ， $c u r$ 在计入答案前首先减去 $c1[a_k]$ （由于 $a_k$ 已经不在 $c 2$ 中了，而之前对于 $i$ 满足 $a_i = a_k$ 每个已经加在 cur 上的 $c2[a_i]$ 其中的一个 $1$ 就是 $a_k$ 产生的贡献，因此要减去这些贡献）。若此时 $a [i] = a [k]$ ，则将 $c u r$ 计入答案，若不相等，则不计入答案。然后 $c u r$ 要加上 $a_k$ 与后面的 $l$ ( $l > k$ ) 带来的二元组数量(加上 $c2[a_k]$ ，解释类似方法2)，并且将 $c 1$ 中 $a_k$ 的数量加上 $1$ 。

AC Code：

方法1：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
#include <deque>
#include <list>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <fstream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <assert.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
//cout << fixed << setprecision(2);
//cout << setw(2);
const int N = 2e5 + 6, M = 1e9 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;

int main() {
    //freopen("/Users/xumingfei/Desktop/ACM/test.txt", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        vector<int> a(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a[i];
            a[i]--;
        }
        vector<int> c1(n), c2(n);
        c1[a[0]]++;
        ll ans = 0;
        for (int j = 1; j < n - 2; j++) {
            fill(c2.begin(), c2.end(), 0);
            for (int k = j + 1; k < n; k++) {
                c2[a[k]]++;
            }
            for (int k = j + 1; k < n; k++) {
                c2[a[k]]--;
                if (c1[a[k]] > 0 && c2[a[j]] > 0) {
                    ans += 1LL * c1[a[k]] * c2[a[j]];
                }
            }
            c1[a[j]]++;
        }
        cout << ans << '\n';
    }

    return 0;
}

方法2：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
#include <deque>
#include <list>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <fstream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <assert.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
//cout << fixed << setprecision(2);
//cout << setw(2);
const int N = 2e5 + 6, M = 1e9 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;

int main() {
    //freopen("/Users/xumingfei/Desktop/ACM/test.txt", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        vector<int> a(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a[i];
            a[i]--;
        }
        vector<int> cnt(n);
        ll ans = 0;
        for (int k = 2; k < n - 1; k++) {
            fill(cnt.begin(), cnt.end(), 0);
            for (int l = k + 1; l < n; l++) {
                cnt[a[l]]++;
            }
            ll cur = 0;
            cur += cnt[a[k - 1]];
            for (int i = k - 2; i >= 0; i--) {
                if (a[i] == a[k]) ans += cur;
                cur += cnt[a[i]];
            }
        }
        cout << ans << '\n';
    }

    return 0;
}

方法3：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
#include <deque>
#include <list>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <fstream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <assert.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
//cout << fixed << setprecision(2);
//cout << setw(2);
const int N = 2e5 + 6, M = 1e9 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;

int main() {
    //freopen("/Users/xumingfei/Desktop/ACM/test.txt", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        vector<int> a(n);
        for (int i = 0; i<n;i++) {
            cin >> a[i];
            --a[i];
        }
        ll ans = 0;
        vector<int> c1(n), c2(n);
        for (int i = 0; i < n - 3; i++) {
            fill(c1.begin(), c1.end(), 0);
            fill(c2.begin(), c2.end(), 0);
            for (int l = i + 2; l < n; l++) {
                c2[a[l]]++;
            }
            ll cur = 0;
            cur += c2[a[i + 1]];
            c1[a[i + 1]]++;
            for (int k = i + 2; k < n - 1; k++) {
                cur -= c1[a[k]];
                c2[a[k]]--;
                if (a[i] == a[k]) ans += cur;
                cur += c2[a[k]];
                c1[a[k]]++;
            }
        } 
        cout << ans << '\n';
    }

    return 0;
}