Codeforces Round #694 (Div. 2) D. Strange Definition【质因数分解 | 数论】

题意：

定义如果两个数 $x,y$ “相邻”，那么 $\frac{lcm(x,y)}{gcd(x,y)}$ 是平方数，给定长度为 $n$ 的数字数组 $a$，其中的每个元素 $a_i$ 每一秒后都会被所有与 $a_i$ 相邻(包括 $a_i$ 自己)的数字的乘积替换，定义 $d_i$ 为与 $a_i$ 相邻的数字的个数，则数组 $a$ 的 $beauty$ 为 $max(d_i)$，给出 $q$ 次询问，每次询问是一个数字 $w$，回答 $w$ 秒后数组 $a$ 的 $beauty$ 是多少。其中 $1\le n\le 3\cdot 10^5$, $1\le a_i\le 10^6$, $1\le q\le 3\cdot 10^5$, $0\le w\le 10^{18}$。

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思路：

1. 经过简单的变换，我们可以将 $\frac{lcm(x,y)}{gcd(x,y)}$ 化为 $\frac{x\cdot y}{gcd(x,y{)}^2}$，即若 $x$ 和 $y$ 相邻是当且仅当 $x\cdot y$ 为平方数。
2. 定义 $alph{a}_i$ 为数字 $p^{alph{a}_i}$ 能整除 x 的最大的 $alph{a}_i$, 同理于 $bet{a}_j$ 对于 y，则若 $p^{{\alpha }_i}\cdot p^{{\beta }_j}$ 为平方数时当且仅当 ${\alpha }_i+{\beta }_j$ 是偶数，即 ${\alpha }_i\equiv {\beta }_j$(mod 2)。
3. 对 $x$、$y$ 分别进行质因数分解后我们可得 $x=p_1^{{\alpha }_1}\cdot \dots \cdot p_k^{{\alpha }_k}$，$y=p_1^{{\beta }_1}\cdot \dots \cdot p_k^{{\beta }_k}$，根据 2，我们将 $x$、$y$ 分别替换为 $x=p_1^{{\alpha }_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2}\cdot \dots \cdot p_k^{{\alpha }_k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2}$，$y=p_1^{{\beta }_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2}\cdot \dots \cdot p_k^{{\beta }_k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2}$，那么经过这样的替换后若两个数相邻当且仅当 x 和 y 相等，原因如下： 由 2 我们可知，若 $x$ 和 $y$ 相邻，则 $p_1^{{\alpha }_1},\dots ,p_k^{{\alpha }_k}$ 和 $p_1^{{\beta }_1},\dots ,p_k^{{\beta }_k}$ 中每个都要满足 ${\alpha }_i\equiv {\beta }_i$，因为 $p_1,\dots ,p_k$ 都为质数，因此若不满足上述条件则 $x$ 和 $y$ 必然某个质因子的指数不同，也就造成了 $x$ 和 $y$ 不同，反之若满足上述条件，则 $x$ 和 $y$ 必然 “相邻”。
4. 将数组中的每个元素进行替换，然后将相同元素分为一组。(1) 若组中有偶数个元素，那么下一秒这些元素都将变为 $1$，原因是： 因为有偶数个元素，那么对于最终乘积 $z=p_1^{{\alpha }_1},\dots ,p_k^{{\alpha }_k}$ 中每个 ${\alpha }_i$(mod 2)，都满足 ${\alpha }_i=0$，也就是 $z=1$。(2) 若组中有奇数个元素，则下一秒组中的这些元素都不变，原因类似于偶数情况。因为 1 和奇数组都不再改变，而偶数组都会变为 1，因此答案也就只有 $0$ 秒时和 $1$ 秒后这两种情况，因此 $an{s}_0$ 为 $0$ 秒时最大的组的大小，而因为 $1$ 秒后数组中 1 的个数会增加，因此 $an{s}_1$ 为一秒后 $1$ 的个数和 $an{s}_0$ 的最大值。

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做法：

• 做法 1 ： 由于 $1\le a_i\le 10^6$ 范围不大，因此我们可以预处理 $1$ ~ $10^6$ 所有数 $a_i$ 变换后的值 $h_i$ (先找出质因数，然后看质因数的指数模 $2$ 后是否为 $1$，若为 $1$，$h_i$ 乘上该质因数，$h_i$ 初始值为 $1$)，此时对于每个数 $a_i$，其质因数 $j$ 循环条件为 $j\ast j\le a_i$，因为 $a_i$ 是不断变化的($a_i$ 不断除质因数)，因此处理每个数 $a_i$ 的时间复杂度为 $\mathcal{O}(log{a}_i)$，注意如果最终 $a_i$ 不为 $1$ 的话表示最终的 $a_i$ 为质因子，此时 $h_i$ 还需要乘上 $a_i$。$AC$ 时间为 $826ms$。
• 做法 2 (做法 1 的优化)： 在找质因数时，我们可以首先筛出 $2$ ~ $10^6$ 的素数，然后用素数 $prim{e}_j$ 替代做法 $1$ 中的 $j$。$AC$ 时间为 $498ms$。
• 做法 3 ： 先使用 $Eratosthenes$ 筛法预处理出 $2$ ~ $10^6$ 每个数的最小质因子 $min{p}_i$，复杂度为 $\mathcal{O}({\sum }_{质数p\le N}\frac{N}{P})=\mathcal{O}(NloglogN)$， 然后在线处理出每个 $a_i$ 变换后的值 $h_i$，在线处理的过程如下：$a_i$ 除以它的最小质因子 $p$ 直到最小质因子不为 $p$，然后再除以新 $a_i$ 的最小质因子，如此这个过程直到 $a_i$ 不大于 $1$，处理每个 $a_i$ 的时间复杂度为 $\mathcal{O}(log{a}_i)$。$AC$ 时间为 $358ms$。

AC Codes :

做法 2 (注释部分为做法 1)：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
#include <deque>
#include <list>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <fstream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <assert.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
//cout << fixed << setprecision(2);
//cout << setw(2);
const int N = 2e5 + 6, M = 1e9 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;

int main() {
    //freopen("/Users/xumingfei/Desktop/ACM/test.txt", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    const int MAX = (int) 1e6 + 5;
    vector<int> prime(100000), vis(MAX);
    int cnt = 0;
    for (int i = 2; i < MAX; i++) {
        if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
        for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < MAX; j++) {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    vector<int> h(MAX, 1);
    for (int i = 1; i < MAX; i++) {
        int tmp = i;
        for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * prime[j] <= tmp; j++) {
            if (tmp % prime[j] == 0) {
                int cnt = 0;
                while (tmp % prime[j] == 0) {
                    tmp /= prime[j];
                    cnt++;
                }
                h[i] *= cnt % 2 ? prime[j] : 1;
            }
        }
        if (tmp > 1) h[i] *= tmp;
    }
    // for (int i = 1; i < MAX; i++) {
    //     int tmp = i;
    //     for (int j = 2; j * j <= tmp; j++) {
    //         if (tmp % j == 0) {
    //             int cnt = 0;
    //             while (tmp % j == 0) {
    //                 tmp /= j;
    //                 cnt++;
    //             }
    //             h[i] *= cnt % 2 ? j : 1;
    //         }
    //     }
    //     if (tmp > 1) h[i] *= tmp;
    // }
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        vector<int> a(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a[i];
            a[i] = h[a[i]];
        }
        sort(a.begin(), a.end());
        int ans0 = 0, ans1 = 0;
        for (int l = 0; l < n; ) {
            int r = l;
            while (r < n && a[l] == a[r]) {
                r++;
            }
            ans0 = max(ans0, r - l);
            if ((r - l) % 2 == 0 || a[l] == 1)
                ans1 += r - l;
            l = r;
        }
        ans1 = max(ans0, ans1);
        int q;
        cin >> q;
        while (q--) {
            ll w;
            cin >> w;
            cout << (w == 0 ? ans0 : ans1) << '\n';
        }
    }

    return 0;
}

做法 3 ：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
#include <deque>
#include <list>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <fstream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <assert.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
//cout << fixed << setprecision(2);
//cout << setw(2);
const int N = 1e6 + 6, M = 1e9 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;

int main() {
    //freopen("/Users/xumingfei/Desktop/ACM/test.txt", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    vector<int> minp(N + 1);
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        if (minp[i] == 0) {
            minp[i] = i;
            for (int j = 2 * i; j <= N; j += i) {
                if (minp[j] == 0) {
                    minp[j] = i;
                }
            }
        }
    }
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        vector<int> a(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a[i];
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x = a[i];
            a[i] = 1;
            while (x > 1) {
                int q = minp[x];
                int cnt = 0;
                while (minp[x] == q) {
                    cnt++;
                    x /= q;
                }
                if (cnt % 2 == 1) {
                    a[i] *= q;
                }
            }
        }
        sort(a.begin(), a.end());
        int ans0 = 0, ans1 = 0;
        for (int l = 0; l < n; ) {
            int r = l;
            while (r < n && a[l] == a[r]) {
                r++;
            }
            ans0 = max(ans0, r - l);
            if ((r - l) % 2 == 0 || a[l] == 1)
                ans1 += r - l;
            l = r;
        }
        ans1 = max(ans0, ans1);
        int q;
        cin >> q;
        while (q--) {
            ll w;
            cin >> w;
            cout << (w == 0 ? ans0 : ans1) << '\n';
        }
    }

    return 0;
}