1bit数字信号互相关系数的计算

1bit数字信号互相关系数的计算

最近的一个项目里面需要对1bit的数字信号做相关，没有找到非常直接的解答，所以把互相关系数在数字信号的情况下做了一个推导，并用matlab验证了其正确性

推导过程

首先，我们将X和Y视为两个相同长度N的信号，每个信号都有两个可能的取值：0和1。
并且我们有以下定义：

• N11：表示X和Y同时为1的样本数量。
• N00：表示X和Y同时为0的样本数量。
• N10：表示X为1且Y为0的样本数量。
• N01：表示X为0且Y为1的样本数量。
  接下来，我们用这些参数来估计协方差和标准差。
  协方差的定义为：
  $$Cov(X,Y)=E((X-\mu X)\ast (Y-\mu Y))$$
  其中，X和Y是对应的随机变量。μX是X的期望值(均值)。μY是Y的期望值(均值)。
  将X和Y的样本均值代入协方差的定义中，可以得到：
  $$Cov(X,Y)=E((X-\mu X)\ast (Y-\mu Y))=E((X-(N11+N10)/N\ast X)\ast (Y-(N11+N01)/N\ast Y))$$
  $$=E(XY-X(N11+N01)/N-Y(N11+N10)/N+(N11+N01)(N11+N10)/(N^2))$$

展开每一项：
$$E(XY)=(N11/N)$$

$$E(X(N11+N01)/N)=(N11+N10)/N\ast (N11+N01)/N$$

$$E(Y(N11+N10)/N)=(N11+N01)/N\ast (N11+N10)/N$$

$$E((N11+N01)(N11+N10)/(N^2))=(N11+N10)(N11+N01)/(N^2)$$

因此，将这些项代回协方差的表达式中，我们得到：
$$Cov(X,Y)=(N11\ast N00-N10\ast N01)/N^2$$

σX：同理对于X的标准差，我们有：
$$\sigma X=sqrt((N11+N10)\ast (N01+N00)/N^2)$$

σY：同理对于Y的标准差，我们有：
$$\sigma Y=sqrt((N10+N00)\ast (N11+N01)/N^2)$$
接下来，我们可以将这些结果代入互相关系数的定义，得到：
$$r=Cov(X,Y)/(\sigma X\ast \sigma Y)=(N11\ast N00-N10\ast N01)/sqrt((N11+N10)(N01+N00)(N10+N00)(N11+N01))$$

MATLAB仿真验证

计算1bit相关系数的代码如下

function [N11, N00, N10, N01, N1x, Nx0, r] = crossCorrelation(signal1, signal2)
    N = length(signal1);
    N11 = 0;
    N00 = 0;
    N10 = 0;
    N01 = 0;
    for i = 1:N
        if signal1(i) && signal2(i)
            N11 = N11 + 1;
        elseif ~signal1(i) && ~signal2(i)
            N00 = N00 + 1;
        elseif signal1(i) && ~signal2(i)
            N10 = N10 + 1;
        elseif ~signal1(i) && signal2(i)
            N01 = N01 + 1;
        end
    end
   r = (N11 * N00 - N10 * N01) / sqrt((N11 + N01) * (N11 + N10) * (N00 + N01) * (N00 + N10));
end

与定义式计算结果比较

% 生成随机的二进制信号
N = 1000; % 信号长度
signal1 = randi([0, 1], 1, N);
% signal2 = randi([0, 1], 1, N);
noise= randi([0, 1], 1, 500);
signal2=[signal1(1:500),noise];
% 计算互相关系数
[N11, N00, N10, N01, N1x, Nx0, r] = crossCorrelation(signal1, signal2);

% 验证结果
cov_matrix = cov(signal1, signal2); % 计算协方差矩阵
cov_xy = cov_matrix(1, 2); % 获取信号1和信号2的协方差
std_x = std(signal1); % 计算信号1的标准差
std_y = std(signal2); % 计算信号2的标准差
r_verify = cov_xy / (std_x * std_y); % 计算验证的互相关系数

% 打印结果
disp(['N11: ', num2str(N11)]);
disp(['N00: ', num2str(N00)]);
disp(['N10: ', num2str(N10)]);
disp(['N01: ', num2str(N01)]);
disp(['计算得到的互相关系数 r: ', num2str(r)]);
disp(['验证的互相关系数 r_verify: ', num2str(r_verify)]);

结果如下