Week7 C——TT的美梦-优快云博客

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TT的美梦

这一晚，TT 做了个美梦！

在梦中，TT 的愿望成真了，他成为了喵星的统领！喵星上有 N 个商业城市，编号 1 ～ N，其中 1 号城市是 TT 所在的城市，即首都。

喵星上共有 M 条有向道路供商业城市相互往来。但是随着喵星商业的日渐繁荣，有些道路变得非常拥挤。正在 TT 为之苦恼之时，他的魔法小猫咪提出了一个解决方案！TT 欣然接受并针对该方案颁布了一项新的政策。

具体政策如下：对每一个商业城市标记一个正整数，表示其繁荣程度，当每一只喵沿道路从一个商业城市走到另一个商业城市时，TT 都会收取它们（目的地繁荣程度 - 出发地繁荣程度）^ 3 的税。

TT 打算测试一下这项政策是否合理，因此他想知道从首都出发，走到其他城市至少要交多少的税，如果总金额小于 3 或者无法到达请悄咪咪地打出 ‘?’。
Input

第一行输入 T，表明共有 T 组数据。（1 <= T <= 50）

对于每一组数据，第一行输入 N，表示点的个数。（1 <= N <= 200）

第二行输入 N 个整数，表示 1 ～ N 点的权值 a[i]。（0 <= a[i] <= 20）

第三行输入 M，表示有向道路的条数。（0 <= M <= 100000）

接下来 M 行，每行有两个整数 A B，表示存在一条 A 到 B 的有向道路。

接下来给出一个整数 Q，表示询问个数。（0 <= Q <= 100000）

每一次询问给出一个 P，表示求 1 号点到 P 号点的最少税费。

Output

每个询问输出一行，如果不可达或税费小于 3 则输出 ‘?’。

Sample Input

2
5
6 7 8 9 10
6
1 2
2 3
3 4
1 5
5 4
4 5
2
4
5
10
1 2 4 4 5 6 7 8 9 10
10
1 2
2 3
3 1
1 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
2
3 10

Sample Output

Case 1:
3
4
Case 2:
?
?

问题分析

SPFA

Bellman-ford算法可以给出源点S 至图内其他所有点的最短路以及对应的前驱子图。
Bellman-ford算法的正确性基于以下事实

最短路经过的路径条数小于图中点的个数。若大于等于点的个数，则意味着存在某点被重复经过。
当松弛边(u,v)时，如果dis[u]已经是最短路且u在v的最短路上，则松弛结束后dis[v]也是最短路，并且从此以后其dis值不会发生变化。

整体思路：对图中的每一条边进行松弛操作，由于最短路的路径条数小于点的个数，故松弛点数-1轮即可
时间复杂度O（nm）

队列优化算法SPFA
建立一个队列，存储被成功松弛的点。每次从队首取点并松弛其邻接点，如果邻接点成功松弛则将其放入队列。
时间复杂度平均为O(km) ,K是一个小于n 的小常数 , 但是在特殊情况下k 可能很大。

负环
判断点的入队次数，如果某一点入队n 次则说明有负环，dfs遍历这一点能到达的所有点，将他们都标记为负环上的点。

解题思路

首先注意到题目中可能有负权边，因此使用SPFA解决。
定义两个数组，一个用来记录是否在队中，一个用来记录是否是负权边。再定义一个数组记录距离。
为了判断是否是负环，我们还需要一个数组，cnt[x] 表示x当前最短路上的边数，若大于等于n说明找到负环。

使用SPFA算法，每次从队首取出一个点u，更新它的标记为不在队中，检查它的邻接点i，进行松弛操作。判断是否找到负环，如果找到，dfs遍历标记负环上的点，同时跳过下面的操作，不入队。如果i不在队列中，入队。

最后，如果点i的距离等于初始值，或者小于3，或者标记为负环上的点，输出？；否则输出距离。

代码实现

#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<math.h>
#define N 250
#define INTMAX 214748364
using namespace std;

struct edge
{
	int v,net;
	int w;
};

int n=0,m=0;
int a[N];
int head[N],dis[N],vis[N],cnt[N],vis2[N];
edge e[105000];
queue<int> q;
int index=0;

void add(int u, int v, int w)
{
	e[index].v = v;
	e[index].w = w;
	e[index].net = head[u];
	head[u] = index;
	index++;
}

void init()
{
	for(int i=0; i<=n; i++)
	{
		dis[i] = INTMAX;
		vis[i] = 0;
		cnt[i] = 0;
		vis2[i] = 0;
	}
}

void dfs(int start)
{
	vis2[start] = 1;
	for(int i=head[start]; i!=-1; i=e[i].net)
	{
		int x=e[i].v;
		if(vis2[x] == 0)
		{//未曾访问过 
			vis2[x] = 1;//标记到达 
		//	printf("%d ",x.v);
			dfs(x);
		}
	}
}

void sqfa()
{
	init();
	dis[1] = 0;
	vis[1] = 1;
	q.push(1);
	while(!q.empty())
	{
	//	printf("!!!");
		int a=q.front();
		q.pop();
		
		vis[a] = 0;
		
		for(int i=head[a]; i!=-1; i=e[i].net)
		{
			int b = e[i].v;
			int w = e[i].w;
			if(dis[b] > dis[a]+w)
			{
				dis[b] = dis[a]+w;
				cnt[b] = cnt[a]+1;
				if(cnt[b]>=n)
				{
					dfs(b);
			//		printf("\n");
			        continue; 
				}
				if(vis[b] == 0)
				{
					vis[b]=1;
					q.push(b);
				 } 
			}
		}
	}
}

int main()
{
	int t=0;
	scanf("%d",&t);
	for(int k=1; k<=t; k++)
	{
		scanf("%d",&n);
		
		for(int i=1; i<=n; i++)
		    scanf("%d", &a[i]);
		    
		scanf("%d", &m);
		index=0;
		for(int i=0; i<=n; i++)
		    head[i] = -1;
		    
		for(int i=0; i<m; i++)
		{
			int u,v,w;
			scanf("%d%d",&u,&v);
			w = pow(a[v]-a[u], 3);
			add(u,v,w);//道路为有向道路 
		}
		printf("Case %d:\n",k);
		sqfa();
		int q=0;//询问个数 
		scanf("%d",&q);
		while(q--)
		{
			int sss;
			scanf("%d",&sss);
			if(dis[sss]==INTMAX || dis[sss]<3 || vis2[sss]==1) printf("?\n");
			else printf("%d\n",dis[sss]);
		 } 
	}
 }