随机过程及应用

二阶矩过程

二阶矩过程的均值函数和协方差函数为什么必定存在？

证明是通过利用柯西-施瓦兹不等式证明的，该公式的正确形式是什么样的？
绝对值符号是在期望号的外面还是里面？

因此，二阶矩过程的均值函数，自协方差函数，方差函数，自相关函数都是存在的。
只有这些数字特征存在，才便于进行研究，如果不是个二阶矩过程，就不能保证该随机过程的数字特征存在，那我们就不好进行数字特征方面的研究了。

利用特征函数求解随机过程的N阶矩

$$E(X^k(t))=j^{-k}{\phi }^{(-k)}(0)$$

应用实例：

1. 维纳过程的四阶矩的计算
2. 复合泊松过程的期望和方差的计算

随机变量函数的概率密度求解

可将以上过程扩展至任意的随机变量函数

只有n维的随机变量，没有n维的随机过程，但可以有随机过程的任意n维分布，即对给定随机过程 { X ( t ) , t ∈ T } \left\{ {X(t),t\in T} \right\} {X(t),t∈T},有任意n个时刻$$t_1,t_2,...,t_n\in T$, 随机向量 $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_n}$的n维联合分布函数为

F t 1 , t 2 , . . . , t n ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P { X t 1 ≤ x 1 , X t 1 ≤ x 1 , . . . , X t n ≤ x n } F_{t_1,t_2, ...,t_n}(x_1,x_2,...,x_n)=P \left\{ {X_{t_1} \le x_1, X_{t_1} \le x_1,..., X_{t_n} \le x_n} \right\} Ft1​,t2​,...,tn​​(x1​,x2​,...,xn​)=P{Xt1​​≤x1​,Xt1​​≤x1​,...,Xtn​​≤xn​}

为随机过程 { X ( t ) , t ∈ T } \left\{ {X(t),t\in T} \right\} {X(t),t∈T} 的有限维分布函数。

计算概率分布的问题

已知待求随机变量的表达式，且该随机变量依赖于其他的已知分布的随机变量，然后求该随机变量的一维概率分布或者多维概率分布