【树链剖分】【树状数组】换公路

【题目描述】
给定一个点集的两颗生成树T1,T2。对于T1中每条边，问与T2中多少边交换以后满足T1和T2仍然是两棵树。
$n<=1e6$

【思路】

这道题挺不错的。首先，对于两条边$e1\in T1,e2\in T2$，它们可以交换当且仅当e1的两个端点在T2上的路径经过了e2，且e2两个端点在T1的路径上经过了e1。这是两个限制，我们可以这样处理：保证数据结构中的边满足一个限制，查询满足另一个限制的边的数量。由于把每条边独立出来单独处理是难以在低时间复杂度解决的，所以我们在T1中考虑儿子对父亲的贡献。我们可以发现，在我们需要维护的数据结构中，儿子和父亲的满足一个限制的边集合只有一部分不同。从父亲这里延伸到子树以外的边会被加进来，儿子子树里向上到父亲或父亲的其它子树的边需要被删除。我们可以考虑差分，对于T2的每一条边(u,v)，我们可以在T1中的u和v处+1，在lca(u,v)处-2，就可以保证数据结构里的边是合法的。遗憾的是，子树之间的差分会相互影响，所以我们可以考虑线段树合并，使得子树的线段树里只有子树里合法的边。不过还有更简单的方法，我们发现这个需要求的数量满足可减性。我们可以在未考虑子树时求一次答案，在考虑子树的影响后求一次答案。最后，我们考虑一下我们需要维护一个什么样的数据结构。我们保证这个数据结构T2的边都覆盖了正在考虑的T1的边，我们需要查询满足另一个限制的边，即当前考虑的T1的边的两端点在T2上的路径上的边均满足第二个限制。所以我们需要支持在T2上单点修改，链查询。这个可以用树状数组+dfs序实现。简单梳理一下我们需要完成的操作：

1. 当我们在差分T2上的边时，我们需要求T1中两点的lca，这个可以用树链剖分实现。
2. 差分时，我们可以用一个vector存在当前节点时，T2中某条边在数据结构中的变化量。
3. 树状数组+dfs序实现单点加，链求和的这个经典操作需要求T2中两点的lca，这个可以用树链剖分完成。
4. dfsT1求答案时，我们应该依次进行以下操作：查询答案，处理子树，处理自己，查询答案并相减。
   代码：
   （ 注：namespace TCP是树链剖分，namespace DO是dfs序+树状数组）

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define mp make_pair
using namespace std;
const int N=2e6+5;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int red(){
    char re ch=nc();int re sum=0;
    while(!(ch>='0'&&ch<='9'))ch=nc();
    while(ch>='0'&&ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=nc();
    return sum;
}
int n,m,a,b,c,ans[N];
struct node{int u,v;}e1[N],e2[N],E1[N],E2[N];
int f1[N],f2[N],nxp1[N],nxp2[N],cnt1=0,cnt2=0,cn1=0,cn2=0;
inline void add1(int u,int v){
	E1[++cn1]=(node){u,v};
	e1[++cnt1]=(node){u,v};
	nxp1[cnt1]=f1[u];f1[u]=cnt1;
	e1[++cnt1]=(node){v,u};
	nxp1[cnt1]=f1[v];f1[v]=cnt1;
}
inline void add2(int u,int v){
	E2[++cn2]=(node){u,v};
	e2[++cnt2]=(node){u,v};
	nxp2[cnt2]=f2[u];f2[u]=cnt2;
	e2[++cnt2]=(node){v,u};
	nxp2[cnt2]=f2[v];f2[v]=cnt2;
}
namespace TCP1{
	int dep[N],top[N],fa[N],son[N],siz[N];
	void dfs1(int u,int ff){
		siz[u]=1;dep[u]=dep[ff]+1;
		for(int re i=f1[u];i;i=nxp1[i]){
			int v=e1[i].v;
			if(dep[v])continue;
			dfs1(v,fa[v]=u);siz[u]+=siz[v];
			if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
		}
	}void dfs2(int u){
		if(son[u])top[son[u]]=top[u],dfs2(son[u]);
		for(int re i=f1[u];i;i=nxp1[i])
			if(!top[e1[i].v])dfs2(top[e1[i].v]=e1[i].v);
	}inline int lca(int a,int b){
		while(top[a]^top[b]){
			if(dep[top[a]]<dep[top[b]])swap(a,b);
			a=fa[top[a]];
		}if(dep[a]<dep[b])return a;
		return b;
	}
}
namespace TCP2{
	int dep[N],top[N],fa[N],son[N],siz[N];
	void dfs1(int u,int ff){
		siz[u]=1;dep[u]=dep[ff]+1;
		for(int re i=f2[u];i;i=nxp2[i]){
			int v=e2[i].v;
			if(dep[v])continue;
			dfs1(v,fa[v]=u);siz[u]+=siz[v];
			if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
		}
	}void dfs2(int u){
		if(son[u])top[son[u]]=top[u],dfs2(son[u]);
		for(int re i=f2[u];i;i=nxp2[i])
			if(!top[e2[i].v])dfs2(top[e2[i].v]=e2[i].v);
	}inline int lca(int a,int b){
		while(top[a]^top[b]){
			if(dep[top[a]]<dep[top[b]])swap(a,b);
			a=fa[top[a]];
		}if(dep[a]<dep[b])return a;
		return b;
	}
}
typedef pair<int,int>T;
vector<T>g[N];
inline void insert(int u,int p,int v){g[u].push_back(mp(p,v));}
namespace DO{
	int st[N],ed[N],tot=0,c[N],dep[N];
	inline void add(int x,int v){while(x<=n)c[x]+=v,x+=x&-x;}
	inline int ask(int x){
		int ret=0;
		while(x)ret+=c[x],x-=x&-x;
		return ret;
	}
	inline void change(int u,int w){add(st[u],w),add(ed[u]+1,-w);}
	inline int query(int u,int v){return ask(st[u])+ask(st[v])-2*ask(st[TCP2::lca(u,v)]);}
	void dfs(int u,int fa){
		st[u]=++tot;dep[u]=dep[fa]+1;
		for(int re i=f2[u];i;i=nxp2[i])
			if(!st[e2[i].v])dfs(e2[i].v,u);
		ed[u]=tot;
	}void init(){
		dfs(1,0);
		for(int re i=1;i<n;i++){
			int u=E2[i].u,v=E2[i].v;
			if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
			int lc=TCP1::lca(u,v);
			insert(u,v,1);
			insert(v,v,1);
			insert(lc,v,-2);
		}
	}
}
namespace SOLVE{
	void dfs(int u,int fa){
		int ans1=0;
		if(u^1)ans1=DO::query(u,fa);
		for(int re i=f1[u];i;i=nxp1[i]){
			int v=e1[i].v;
			if(v==fa)continue;
			dfs(v,u);
		}
		for(int re i=g[u].size()-1;~i;--i)
			DO::change(g[u][i].first,g[u][i].second);
		if(u^1)ans[u]=DO::query(u,fa)-ans1;
	}
}
int main()
{
  	int size=40<<20;
    __asm__ ("movq %0,%%rsp\n"::"r"((char*)malloc(size)+size));
	n=red();
	for(int re i=1;i<n;i++)add1(red(),red());
	for(int re i=1;i<n;i++)add2(red(),red());
	TCP1::dfs1(1,0);TCP1::dfs2(TCP1::top[1]=1);
	TCP2::dfs1(1,0);TCP2::dfs2(TCP2::top[1]=1);
	DO::init();SOLVE::dfs(1,0);
	for(int re i=1;i<n;i++){
		int u=E1[i].u,v=E1[i].v;
		if(TCP1::dep[u]<TCP1::dep[v])swap(u,v);
		cout<<ans[u]<<" ";
	}exit(0);
}