【leetcode】(python) 69. Sqrt(x)开方

Description

69. Sqrt(x) Easy

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x, where x is guaranteed to be a non-negative integer.

Since the return type is an integer, the decimal digits are truncated and only the integer part of the result is returned.

Example

• Example 1:

  Input: 4
  Output: 2

• Example 2:

  Input: 8
  Output: 2
  Explanation: The square root of 8 is 2.82842…, and since
  the decimal part is truncated, 2 is returned.

题意

计算非负整数x的开平方，如果开方结果为小数则取其整数部分。

思路1 二分法

这种题不知道为啥直接用math.sqrt()函数也能AC

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        return int(math.sqrt(x))

分析：想一想我们初中学开方是什么做的，老师教的应该是先学的平方，然后背牢1到9的平方值，到学开方时直接反向套用的吧，那如果一个数不是所背诵的1到9的结果怎么办呢？我们是不是开始从1开始数，一直数到一个接近的数附近，比如求8的开方，这不在我们的背诵结果之内呀，所以11 = 1， 22 = 4,3*3 = 9，我们知道8在4与9之间，所以也知道结果在2与3之间了。

那么这题同样的道理，我们可以从某个数开始得到这个一个范围值。那这某个数怎么确定呢，学过二分法的应该知道，二分可以快速有效地将范围缩小。

说正经的二分法吧，先取左右边界的中间值，看mid是否满足类似 22 = 4,33 = 9的条件，如果满足直接返回mid的整数部分即可。如果mid * mid > x ，说明该值偏大，应该缩小右边界，所以使right = mid;如果mid * mid < x , 说明mid还小，可以继续计算，所以使left = mid + 1。

code

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        if x <= 0 :
            return 0
        if x == 1:
            return 1
        left,right = 0, x
        while left < right:
            mid = left + (right - left)//2
            if mid * mid <= x and (mid + 1) * (mid+1) > x:
                return mid
            elif mid * mid > x:
                right = mid
            else:
                left = mid + 1

思路2 牛顿迭代法

参考的这种方法，其实就是一个牛顿公式。

【笔记】牛顿迭代公式

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0））做曲线y = f(x）的切线L，L的方程为y = f(x0)+f’(x0)(x-x0），求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f’(x0），称x1为r的一次近似值。再过点（x1,f(x1））做曲线y = f(x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2 =x1-f(x1）/f’(x1），称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f’(x(n)），称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

code

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        if x <= 0 :
            return 0
        if x == 1:
            return 1
        res = x
        while True:
            temp = res
            res = (res + x / res) / 2
            if abs(res - temp) < 1:
                break
        return int(res)