抽象代数-映射

二元关系运算

定义：
$$\begin{gathered} S是一个集合，关于S的二元关系是一个从S\times S到S的映射 \\ 满足映射形式\ast (a,b)=a\ast b(a,b\in S),并且满足: \\ (1)无缺陷:\forall a,b\in S,恰好有一个c\in S使得a\ast b=c \\ (2)封闭性:\forall a,b\in S,a\ast b\in S \end{gathered}$$
(1)的意思是：对于给定的a,b，不允许a*b=c,a*b=d在c≠d的情况下成立。就是运算这个映射这种一个原象中的元素不能映射到多个象。

例子：
$$\begin{gathered} 给定实数集\mathbb{R}和一个二元运算+,它满足二元关系,它实质上是映射+:R\times R\to R \\ 正整数集{\mathbb{N}}^{+}和÷不满足二元关系 \end{gathered}$$

映射

映射定义

$$\begin{gathered} 给定非空集合A,B,从A到B的映射是指一个对应法则 \\ 通过该法则,对于A中任一元a,有B中唯一的一个元b与之对应 \\ 记作f:A\to B或者A\stackrel{f}{\to }B \\ 其中A称为映射f的定义域,B称为值域,b称为a在映射f下的像,a称为b在映射f下的原像 \\ 记作b=f(a)或者a\mapsto b(元素的映射) \end{gathered}$$

映射三要素是定义域，值域，对应法则f

映射相等

$$\begin{gathered} 设f，g是从集合A到B的两个映射，若\forall x\in A,有f(a)=g(a) \\ 则称这两个映射相等f=g \end{gathered}$$

集合上的映射

若映射f的定义域A和值域B相同,即A=B,则称映射f是定义在集合A上的映射

像的唯一性(良性定义)

$$\begin{gathered} 对于\forall a\in A,\exists 唯一b\in B与之对应 \\ 在定义映射时,若元a有不同的表示形式,则b=f(a)必须与a的表示形式没有关系 \end{gathered}$$

例子：

$$\begin{gathered} 令A=B=Z/5Z=\{[0],[1],[2],[3],[4]\},定义对应法则f:A\to B如下： \\ f([x])=\{\begin{array}{l}[x/2]若x为偶数\\ [x]若x为奇数\end{array} \\ 则f不是从A到B的映射 \\ 显然[1]=[6], \end{gathered}$$