修剪草坪 —— 单调队列优化DP基础

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本文介绍了如何使用单调队列优化动态规划（DP）方法解决一个关于农场John修剪草坪的比赛问题。文章通过一个具体的例子，解释了当有N只奶牛，每只具有不同效率，且不能连续超过K只奶牛工作时，如何计算最大可能的总效率。通过维护前缀和并利用单调队列保持转移过程的效率，从而避免超时。

最近正在复习DP，于是便来写一发单调队列优化DP。
其实单调队列优化DP的方法我的博客写得有~~但我自己已经忘光了~~

所以才是复习是吧。

题目描述
在一年前赢得了小镇的最佳草坪比赛后，Farm John变得很懒，再也没有修剪过草坪。现在，新一轮的最佳草坪比赛又开始了，Farm John希望能够再次夺冠。

然而，Farm John的草坪非常脏乱，因此，Farm John只能够让他的奶牛来完成这项工作。Farm John有N(1 <= N <= 100,000)只排成一排的奶牛，编号为1…N。每只奶牛的效率是不同的，奶牛i的效率为E_i(0 <= E_i <= 1,000,000,000)。

靠近的奶牛们很熟悉，因此，如果Farm John安排超过K只连续的奶牛，那么，这些奶牛就会罢工去开派对:)。因此，现在Farm John需要你的帮助，计算FJ可以得到的最大效率，并且该方案中没有连续的超过K只奶牛。

输入输出格式
输入格式：
第一行：空格隔开的两个整数 N 和 K

第二到 N+1 行：第 i+1 行有一个整数 E_i

输出格式：
第一行：一个值，表示 Farm John 可以得到的最大的效率值。

输入输出样例
输入样例#1：
5 2
1
2
3
4
5
输出样例#1：
12

用 $sum_{i}$ 表示前缀和，所以状态转移方程便是：
$f_{i,1}=max(sum_{i}-sum{j}+f_{j,0})$
$f_{i,0}=max(f_{i-1,0},f_{i-1,1})$

然而直接暴力枚举 $j$ 我们会超时。观察第一个式子:
$f_{i,1}=max(sum_{i}-sum{j}+f_{j,0})$
对于它的转移，我们只需要最大的 $sum{j}+f_{j,0}$ ，所以可以将它 $sum{j}+f_{j,0}$ 作为单调队列的元素，维护它的递增性即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

#define N 100010
#define LL long long
#define inf 0x7f7f7f7f
#define reg register

struct fuck {
    LL L,M;
    fuck () {};
    fuck (LL L1,LL M1) {L=L1; M=M1;}
};

LL n,m,A[N],f[N][2],ans,sum[N];
deque<fuck> q;

int main() {
    cin>>n>>m;
    for(reg int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&A[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++ ) sum[i]=sum[i-1]+A[i];
    q.push_front( fuck(0,0) );
    for(reg LL i=1,pos;i<=n;i++) {
        f[i][1]=q.front().L+sum[i];
        f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]);
        while(!q.empty() && q.front().M<i-m+1)
            q.pop_front();
        ans=max(f[i][1],max(ans,f[i][0]));
        while(!q.empty() && q.back().L < f[i][0]-sum[i])
            q.pop_back();
        q.push_back( fuck (f[i][0]-sum[i],i) );
    }
    cout<<ans;
}